リスク回避は限界効用の低下を引き起こしますか、またはその逆ですか？

してみましょう世界の可能性のある状態、または人が持つことができる可能性選好の集合とします。レッツ、「ギャンブル」や「宝くじ」、以上の確率分布のすなわち集合の集合。次に、各人はの州の優先順位と宝くじの優先順位を持ちます。フォンノイマンモルゲンシュテルンの定理は、に対する優先順位が特定の合理性公理に従うと仮定すると、優先順位は効用関数u：A→ℝで表すことができると述べています。（この関数は、スカラーの乗算と定数の追加までユニークです。）つまり、どの2つの宝くじでもL_1G （A ）A A G （A ）G （A ）U ：A → ℝ L $A$$G(A)$$A$$A$$G(A)$$G(A)$$u: A → ℝ$$L_1$そして$L_2$に$G(A)$、あなたが好む$L_1$に$L_2$場合の期待値場合にのみ、$u$下$L_1$の期待値よりも大きい$u$下$L_2$。つまり、効用関数の期待値を最大化します。

ユーティリティ関数の期待値を最大化するからといって、お金のような実際のものの期待値を最大化するという意味ではありません。結局のところ、人々はリスクを嫌うことがよくあります。彼らは「手の中の鳥は茂みの中の2匹の価値がある」と言います。リスク回避とは、ギャンブルを、獲得するお金の期待値よりも低く評価することを意味します。この概念をフォンノイマンモルゲンシュテルン効用関数で表すと、ジェンセンの不等式によって次の結果が得られます。効用関数がお金の凹関数、つまり、あなたがリスクを嫌っているのは、お金の限界効用が減っている程度と同じです。（このPDFの 13ページを参照してください。）

私の質問は、因果関係はどちらの方向に進むのですか？フォンノイマンモルゲンスタンユーティリティ関数の値は、あなたの好みの強さを反映しているか、そしてあなた自身の将来のバージョンの好みよりも裕福で将来価値のある自分自身の好みを割り引くことによるリスク回避ですお金はもっと（ブラッド・デロングがここで示唆するように）？または、因果関係は逆に実行されますか？リスクに対する許容度によって効用関数の形が決まります。これにより、フォンノイマンモルゲンシュテルン効用関数は、設定の相対的な強度について何も通知しませんか？

私の質問への回答は、ノーベル賞受賞者のジョンC.ハルサニーの1994年の論文「規範的な有効性とフォンノイマン-モルゲンシュテルンユーティリティの意味」から抜粋したものだと思います。理科。Harsanyiは、Alecosが答えで証明したのと同じ補題を証明することから始めます。つまり、が個人のvNM効用関数である場合、u （10 ）− u （5 ）< u （5 ）− u （0 ）v u v v （10 ）− v （5 ）= v （5 ）− v （0 $u$$u(10) - u(5) < u(5) - u(0)$10ドルの50％と0ドルの50％の確率と比較して、保証された5ドルを好む場合に限ります。コメントセクションで、vNMユーティリティ関数が好みの強さを表していることを実証するには不十分であると述べました。なぜなら、個人の実際の喜びと痛みが、単調変換でアフィン変換ではない他のユーティリティ関数によって正確に記述された場合はどうなるでしょうか。？その場合、は期待値プロパティを満たすことができず、を実行できませんでしたか？$v$$u$$v$$v(10) - v(5) = v(5) - v(0)$

Harsanyiはこの問題を扱う賢い議論を持っています。ましょう、聞かせてあなたが5ドルの保証を得る宝くじこと、あなたが10ドル、50％の確率と0ドルの50％のチャンスがある宝くじこととしましょうあなたが50％の確率を持っている宝くじこと10ドルと5ドルの50％の確率。次に、明らかにその人はと両方よりもを好みます。そしてハーサニは、と主張に好ましいそれほど強くよりに好ましい場合に限り、。それは、L 2 L 3 L 3 L 1 L 2 L 3 L 1 L 3 L 2、V （10 ）- V （5 ）< V （5 ）- V （0 ）、L 3 、L $L_1$$L_2$$L_3$$L_3$$L_1$$L_2$$L_3$$L_1$$L_3$$L_2$$v(10) - v(5) < v(5) - v(0)$$L_3$対、彼らは5ドルを取得する時間の50％、と彼らは間の選択で同様に10と5の間の選択をしなければならない時間の50％と、彼らは10ドルを取得する時間の50％を、 50％は5から0の間で選択する必要があります。 $L_1$L $L_3$$L_2$

今ここにマスターストロークが来る：より好まれと場合だけより好まれるそれほど強くよりより好まれる。したがって、場合に限り、がも優先されます。したがって、場合に限り、という大きな結論に達し。L 2 L 3 L 1 L 3 L 2 L 1 、L 2、V （10 ）- V （5 ）< V （5 ）- V （0 $L_1$$L_2$$L_3$$L_1$$L_3$$L_2$$L_1$$L_2$$v(10)-v(5) < v(5) -v(0)$v （10 ）− v （5 ）< v （5 $u(10) - u(5) < u(5) - u(0)$$v(10)-v(5) < v(5) -v(0)$

したがって、Harasanyiは、vNMユーティリティ関数が優先度の強度を表すという結論に達しました。したがって、私の質問への答えは、vNMユーティリティ関数の限界効用の減少は、好みの強度に関して、本当の限界効用の減少を反映していると思われるため、（vNMの公理が真であると仮定すると）限界効用の減少がリスクの原因である嫌悪。

ちなみに、ですが、という制約を満たすすべての関数セットを、（同様に、以上）。（編集：ここでMathematics.SE でこれについて質問しました。）u （x ）− u （y ）< u （z ）− u （w ）v （x ）− v （y ）< v （z ）− v （w $v$$u(x) - u(y) < u(z) - u(w)$$v(x)-v(y) < v(z) -v(w)$

効用関数は、伝統的に選択から推論される好みの表現です。設定はユーティリティよりも優先されます。効用と好みの因果関係の間の接続を数学的関係と呼ぶのではなく、

リスク回避（リスク選好）は、時間選好を測定する割引とは関係ありません。リスク回避が将来の自分の好みを割り引いているためであると言っても意味がありません。

Expected Utilityプロパティは、ユーティリティ関数の関数形式に依存するプロパティではありません。その存在は、人間の好み/行動に関係する特定の「公理」（より正確には「条件」として説明されます）を満たすことに依存しています。厳密な数学的表現（これは良い）を与えられるかもしれませんが、それらは設定と関係があります。つまり、効用関数の関数形が指定される前です。それが何を意味するか見てみましょう。コメントでOPは書きました

x、yおよびzはAの3つの固定要素である場合、」...、次に量（人から人へ変化しますvNMの公理を満たす人々の間で）、それは同じ人の異なるvNMユーティリティ機能間で変化しないので、この量は人に固有の何かを伝えます。」$[u(x) - u(y)]/[u(y) - u(z)]$

します。

Jehle＆Renyi（2011） "Advanced Microeconomic Theory"（3d ed）からの引用、ch。2ページ 108

「私たちは、効用の違いの比率は個人の好みに関して固有の意味を持ち、それらは（弱い好みの関係）のすべてのVNM効用表現に対して同じ値をとる必要があると結論付けます。意思決定者の好みは、そうでなければ、適切な単調変換を通じて、そのような比率は多くの異なる値をとることができます。」

引用の直前の例では、彼らはそれを示しています

$$\frac {[u(x) - u(y)]}{[u(y) - u(z)]} = \frac {1-\alpha}{\alpha}$$

ここで、は、モデル化している設定を反映する確率です。もう一度引用する（p。$\alpha$

「確率数は意思決定者の好みによって決定され、反映されることに注意してください。これは意味のある数です。2倍にしたり、定数を追加したり、何らかの方法で変換したりせずに、関連付けられている設定。」$\alpha$

そしてある確率（ない"オッズ比"）。 $(1-\alpha)/\alpha$

だからここにいる：vNMユーティリティ関数は、人の好みを特徴付けることができるオッズに関連付けられています。

追記
OPとのコメントで興味深いが長すぎる意見や考えを交換した後、私はこの回答を例で拡張して、私たちが議論している特定の選好理論の文脈で、「選好強度"（ここで非公式に議論されるように）"リスクに対する態度 "から分離することはできません-それらは密接に関連しています。

個人が（彼にはあらゆる権利があるため）と宣言するとします：「私の好みは単調で、私はより少ない方がいいです。さらに、次の5ユーロは、その後の5つとまったく同じ効用を私に与えます」。これは個別の発言であることに注意してください。効用が基数になる可能性があるかどうかなどについては質問できません。便宜上、ゼロから始めて、彼の発言を

$$u(10) - u(5) = u(5) - u(0) \implies u(5) = \frac 12 u(0) + \frac 12 u(10) \tag {1}$$

OPとの議論の文脈では、これは「選好強度」についての声明です。

彼はどちらか得ることができます。この個々の次の選択肢に次の我々の現在ユーロ、または彼はギャンブルに参加することができますG、彼が得られます0確率でユーロを1 / 2または10の確率でユーロ1 / 2。次に、その個人は、確実に5ユーロを取得することを厳密に好むことを宣言します。これは「リスクに対する態度」を明らかにする声明です。$5$$G$$0$$1/2$$10$$1/2$$5$

質問：彼の2つのステートメントで説明されているように、この個人の好みは、期待されるユーティリティプロパティを所有するユーティリティ関数によって表すことができますか？

回答：いいえ。

証明：彼の2番目の声明により、個人はギャンブル確実性等価が厳密に5ユーロ未満であることを明らかにしました。$CE_G$$5$

したがって、私たちはそれを持っています

$$E[u(G)] = u(CE_G) < u(5) \tag{2}$$

Expected Utilityプロパティが保持されるようにするには、

$$u[G;p(G)] = E[u(G)] = \frac 12 u(0) + \frac 12 u(10) \tag{3}$$

（個人の「リスクに対する態度」を表す）により、$(2)$

$$(2), (3) \implies \frac 12 u(0) + \frac 12 u(10) < u(5) \tag {4}$$

しかし、これは個人の「選好強度」を表すと矛盾します。 $(1)$

したがって、上記のステートメントで設定が記述されている個人は、期待されるユーティリティプロパティを所有するユーティリティ関数で表すことはできないと結論付けます。

$5$$G$