独立の公理のない宝くじよりも優先

一連の仮定：成果は、以下の順にランク付けすることができる1 \ succの2 \ succsim \ cdots \ succsim N。さらに、意思決定者がこれらの結果よりも宝くじよりも優先権を持っているとします。宝くじよりも好みが合理的で継続的であるが、独立の公理と必ずしも一致するとは限りません。$N$$1\succ 2\succsim\cdots\succsim N$

この場合の最高の宝くじは縮退した宝くじ$(1,0,\dots,0)$ですか？

独立の公理に違反した場合はどうなりますか？

いいえ、必ずしもそうとは限りません。独立の公理（またはそれに代わる何か）がないと、（非退化した）宝くじよりも、結果よりも好みを知ることから好みを推測することはできません。

たとえば、を結果の確率ます。次に、効用関数で表される宝くじ設定$p^L_n$$n \in \{1, 2, 3\}$$\succeq^*$

$$U(L) = p^L_1 + \beta [p^L_2p^L_3],$$

継続的かつ合理的ですが、独立の公理を満たしていません。十分な大きさ、それがあることも、そうではありませんが、最高の宝くじであると。$\beta$$(1,0,0)$$(1,0,0) \succ^* (0,1,0)$$(1,0,0) \succ^* (0,0,1)$

理由を確認するには、それを観察してください

$$U(1,0,0) = 1,$$ $$U(0,1,0) = 0,$$ $$U(0,0,1) = 0,$$

ただし、場合、$\beta > 4$

$$U\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) > 1 .$$

独立公理の違反は、場合、$\beta > 4$

$$[1,0,0] \succ [0,1,0] ,$$

が

$$\left[0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right] \succ \left[ \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}\right].$$