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アルゴリズムの実行時間を分析する方法は次のとおりです。 1）最悪の場合の分析：最悪のインスタンスでの実行時間。 2）平均ケース分析：ランダムインスタンスの予想実行時間。 3）償却分析：インスタンスの最悪のシーケンスでの平均実行時間。 4）平滑化された分析：最悪のランダムに摂動されたインスタンスの予想実行時間。 5）一般的なケース分析：インスタンスの小さなサブセットを除くすべての最悪の実行時間。 私の質問：これは完全なリストですか？

22 ds.algorithms 

これは、「本からのアルゴリズム」に沿っています。リダクションはアルゴリズムでもありますが、本からのアルゴリズムに関する質問への応答のリダクションを考えることは疑わしいと思いました。したがって、別のクエリです！ あらゆる種類の削減は大歓迎です。 まず、頂点のカバーから星のマルチカットへの本当に簡単な削減から始めます。ソースの問題が特定されると、その減少はほとんど示唆されます（その前に、問題が星では難しいと信じることは難しいでしょう）。この削減には、リーフを持つスターの構築、およびグラフのすべてのエッジとのペアの端末の関連付けが含まれ、それが機能することは「見やすい」です。参照が見つかったら、参照へのリンクでこれを更新します。nnn 本の文脈を逃している人は本からアルゴリズムに関する質問を見たがっているかもしれません。 更新：私は、この本からの縮小とみなされるものについて完全に明確ではなかったことを認識しています。私はこの問題に少し注意が必要だと思うので、他のスレッドへの参照をすり抜けて、故意に問題をかわすことを告白します:) それで、私が念頭に置いていたものを説明させてください、そして、私はそれが言うまでもなく行くと思います-この点でYMMV。私は本からの証拠の本来の意図に直接類似するつもりです。私は非常に賢い削減を見てきましたが、その一連の思考がどのように誰に起こったのかについて、私はギャップを残しています。このような削減によって明確なa敬の念が残りますが、これらはこの文脈で収集しようとしている例ではありません。 私が探しているのは、把握しやすいが思い付かないという理由で、難易度が低く説明されている削減であり、おそらく多少驚くべきことです。問題の削減にはカバーする講義が必要だと推定する場合、法案に合わない可能性が高いですが、高レベルのアイデアがエレガントで、詳細に悪魔がいる例外があるかもしれないと確信しています（記録、私は私が何かを考えることができるかどうかわからない）。 私が与えた例は、意図的に単純であり、できれば完全にではないにしても、これらの特性をある程度説明することを望んでいます。マルチカットについて初めて聞いたのは教室で、インストラクターは、一般にNPが難しいだけでなく、木に制限されていてもNPが難しいと言い始めました... { 高さの劇的な一時停止} 一つ。振り返ってみると明らかですが、すぐに証明できなかったことを思い出します。 私は考え振り返ってみると明らかに密接に私が探していますについて説明します。これが説明の複雑さに関係しているかどうかはわかりません-おそらくはっきりしない何かがエレガントと分類される場合があります-遠慮なくあなたの例を持ち出してください（例外？）が、正当化を本当に感謝します。ある時点の後、これは好みの問題であることを考えると、あなたが私がめちゃくちゃ複雑で完全に美しいと見ているものを見つけることを確かに気軽にすべきです。さまざまな例を見るのを楽しみにしています！

22 ds.algorithms  np-hardness  big-list  reductions 

圧縮センシング、目標は、入力信号が圧縮（「スケッチ」）から効率的に回収することができるように、疎表現を有することが知られている巨大な入力信号の線形圧縮方式を見つけることです。より正式には、標準セットアップでは、信号ベクトルがあり、そのであり、圧縮表現はに等しく、AはR行n列の実数です。R \ ll nが必要な行列。圧縮センシングの魔法は、任意のkの高速（線形時間に近い）正確な回復を可能にするようにAを明示的に構築できることです。x∈Rnx∈Rnx \in \mathbb{R}^nA X A R N R « N A K∥x∥0&lt;k‖x‖0&lt;k\|x\|_0 < kAxAxAxAAARRRnnnR≪nR≪nR \ll nAAAkkk-sparse xxxとRRRのような小さなとしてO(kno(1))O(kno(1))O(k n^{o(1)})。最もよく知られているパラメーターはないかもしれませんが、これは一般的な考え方です。 私の質問は、他の設定でも同様の現象がありますか？つまり、入力信号は、必ずしもスパース性とは限らない複雑さの尺度に従って、「低複雑度ファミリ」から来る可能性があるということです。次に、必ずしも線形マップではない、効率的で正しい圧縮および解凍アルゴリズムが必要です。そのような結果は別の文脈で知られていますか？圧縮センシングのより「一般的な」理論についてはどう思いますか？ （もちろん、圧縮センシングのアプリケーションでは、線形性とスパース性が重要な問題です。ここで尋ねる質問は、より「哲学的」です。）

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ほとんどすべてのSATソルバーがDNFの代わりにCNFを使用する理由はよくわかりません。SATを解くのはDNFを使用する方が簡単だと思う。結局のところ、暗黙のセットをスキャンして、そのうちの1つに変数とその否定の両方が含まれていないかどうかを確認するだけです。CNFの場合、このような簡単な手順はありません。

22 ds.algorithms  sat 

固定「k」（幅）のグラフのツリー分解を計算するためのオープンソースプログラムを知っている人はいますか？Tree-Decompositionを見つける問題は変数 "k"に対してNP-Hardですが、入力インスタンスは本当に小さく（〜10ノード）、 "k"は修正されます。

22 ds.algorithms  graph-theory  graph-algorithms  software  treewidth 

最近、私は計算の複雑さの概念を非公式に説明した痛みを伴う楽しい経験を経験しました。才能のある独学のプログラマーはアルゴリズムや複雑さの正式なコースを受講したことがありません。驚くことではないが、概念の多くは、いくつかの例で最初のが、作られた意味で奇妙に思えた（PTIME、扱いにくさ、uncomputability）他の人がより自然に来るように見える一方で、（リソース、漸近解析などの削減、時間と空間を経由して、問題の分類を）。SATを誤って認めるまで、すべてが順調でした効率的に解決できます*実際には...そしてそのように、私はそれらを失いました。私がどれほど説得力を持って理論を主張しようとしていたかは関係ありませんでした。子供はそれがすべて人工的なくだらない数学であると彼が気にするべきではないと確信していました。まあ... ¯\ _（ツ）_ /¯ いいえ、私は心を痛めていませんでしたし、彼が何を考えていたかについても気にしませんでした。それはこの質問のポイントではありません。私たちの会話は私に別の質問を考えさせました、 理論的には難解（超多項式時間の複雑さ）であるが、実際には（ヒューリスティック、近似、SATソルバーなどを介して）解ける問題について、実際にどのくらい知っていますか？ あまり気づかなかった。私は、巨大なインスタンスを効率的に解決するいくつかの非常に効率的なSATソルバーがあり、シンプレックスが実際にうまく機能し、さらにいくつかの問題やアルゴリズムがあることを知っています。より完全な絵を描くのを手伝ってもらえますか？このカテゴリに含まれる既知の問題または問題のクラスはどれですか？ TL; DR：実際には、直感に反して解決できる問題とは何ですか？さらに読むための（更新された）リソースはありますか？それらの特性はありますか？そして最後に、一般的な議論の質問として、我々はそうではないでしょうか？ EDIT＃1：例えば、約私の最後の議論の質問に答えるためにしようとして特徴づけを、私はに導入された平滑化解析アルゴリズムの、連続ワーストケースの間を補間すること[1]でダニエル・スピールマンとシャン・フア・テンによって導入コンセプトとアルゴリズムの平均ケース分析。これは、上記の説明とまったく同じではありませんが、同じ概念を捉えており、興味深いものでした。 [1] Spielman、Daniel A.、およびShang-Hua Teng。「アルゴリズムのスムーズな分析：シンプレックスアルゴリズムが通常多項式時間を要する理由。」Journal of the ACM（JACM） 51、no。3（2004）：385-463。

21 cc.complexity-theory  ds.algorithms  np-hardness 

無作為化アルゴリズムのための実数値をとり、「メジアントリック」は、任意の閾値と故障の確率を低減するための簡単な方法であるδ &gt; 0だけ乗算のコストで、T = O （ログ1AA\mathcal{A}δ&gt; 0δ&gt;0\delta > 0オーバーヘッド。場合すなわち、Aの出力が『良好範囲』に該当するIは=[、B]（少なくとも）確率で2/3次に、独立したコピー実行中、A1、...、Tを、その出力の平均を取ります1、...、tはに落ちた値になりますI、少なくとも確率で1-δチャーノフ/ Hoeffdingの境界によります。t = O （log1δ）t=O(log⁡1δ)t=O(\log\frac{1}{\delta})AA\mathcal{A}私= [ a 、b ]I=[a,b]I=[a,b]2 / 32/32/3A1、… 、AtA1,…,At\mathcal{A}_1,\dots,\mathcal{A}_ta1、… 、ata1,…,ata_1,\dots,a_t私II1 - δ1−δ1-\delta この「トリック」をより高い次元、たとえばに一般化して、良好な範囲が凸集合（またはボール、または十分に素晴らしく構造化された集合）になりましたか？すなわち、A無作為化アルゴリズムを考えると、あるA出力の値のR D、および"良好な集合" S ⊆ R DようにPを R { A（X 、R ）∈ S } ≥ 2 / 3のすべてのためのx、どのように高めることができ1 - δへの成功の確率RdRd\mathbb{R}^dAA\mathcal{A}RdRd\mathbb{R}^dS⊆ RdS⊆RdS\subseteq \mathbb{R}^dPr{A(x,r)∈S}≥2/3Pr{A(x,r)∈S}≥2/3\mathbb{P}_r\{ \mathcal{A}(x,r) \in S \} \geq 2/3xxx1−δ1−δ1-\delta対数コストのみで？1/δ1/δ1/\delta …

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f(n)f(n)f(n) 、C &gt; 0limn→∞nc/f(n)=0limn→∞nc/f(n)=0\lim_{n\rightarrow\infty} n^c/f(n)=0c&gt;0c&gt;0c>0 すべての言語について、すべての超多項式時間限界を保持することは明らかです。私はこの声明の逆もまた真実であるのだろうか？つまり、すべての超多項式時間限界についてを知っている場合、それは意味しますか？換言すれば、真のことである 交差点毎superpolynomial引き継がれる場合。 L ∈ D T I M E（F （N ））F （N ）L ∈ D T I M E（F （N ））L∈PL∈PL\in {\mathsf P}L∈DTIME(f(n))L∈DTIME(f(n))L\in {\mathsf {DTIME}}(f(n))f(n)f(n)f(n)L∈DTIME(f(n))L∈DTIME(f(n))L\in {\mathsf {DTIME}}(f(n))L ∈ P P = ∩ F D T I M E（F （N ））F （N ）f(n)f(n)f(n)L∈PL∈PL\in {\mathsf P}P=∩fDTIME(f(n))P=∩fDTIME(f(n)){\mathsf P} …

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私たちは皆、比較ベースのモデルの要素の明確さを時間で実行できないことを知っています。ただし、ワードRAMでは、おそらくより良い結果を得ることができます。o （n ログn ）o（nログ⁡n）o(n\log n) もちろん、線形時間で計算できる完全なハッシュ関数の存在を仮定すると、要素の区別のための線形時間アルゴリズムが得られます：数字を1つずつハッシュし続け、衝突があれば1を返します。 ただし、2つの問題があります。1）使用されるランダム性を見つけることができる完全なハッシュ関数のほとんどの構成、2）どこに前処理時間、つまりどのハッシュ関数を使用するかを決定するのに必要な時間に関する議論が見つかりません数値の入力セットに基づいて使用します。 Fredmanらの「スパーステーブルの最悪の場合のアクセス時間での保存O （1 ）O（1）O(1)」は、最悪の場合にアクセス時間のハッシュ関数を提供することで最初の問題を解決しますが、2番目の問題については何も述べていません。O （1 ）O（1）O(1) 要約すると、ここに私が欲しいものがあります： セット与えられたアルゴリズム設計のN個（各番号はある数wはワード長とワード-RAMに長いビット）wはハッシュ関数見つけ、H ：S → { 1 、... 、M }内のO （N ）時間ここで、m = O （n ）です。関数Hは、プロパティを持つ必要があり、そのいずれかのためにJ ∈ { 1 、... 、M }の要素数SSSnnnwwwwwwh ：S→ { 1 、… 、m }h：S→{1、…、m}h:S\rightarrow \{1, \ldots , m\}O （n ）O（n）O(n)m = O （n ）m=O（n）m = …

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Accoring KWリーガンの記事「接続スター」：、彼はまだ加算、乗算、および比較です操作は線形時間で計算可能であるような整数の表現を見つけるためのオープンな問題であることを最後に言及します 整数の表現が存在するので、加算、乗算、比較はすべて線形時間で実行可能ですか？基本的に、線形時間の離散的に順序付けられたリングはありますか？ （1）比較せずに、線形の時間の乗算と加算にどれだけ近づきますか ここでは、問題のサイズが異なる可能性があるため、整数サイズを変更できるデータ構造/アルゴリズムが必要になる場合があると想定しています。 （2）完全な問題については、整数の乗算、加算、比較の最適なスキームが見つかると想定できます。これら3つの操作の中で最も遅い（最悪の場合）線形時間にどれだけ近づけることができますか？そして、そのメモでは、他の操作はどれくらい速いでしょうか？ 公式問題声明 EmilJeřábekが言及しているように、些細なケースを除外し、この質問の最悪のケースの動作に集中したいと思います。 したがって、非負の整数およびで、および、加算、乗算、および比較が可能なデータ構造/アルゴリズムを見つけることができますか\間と中の時間と空間？∀ Y 0 ≤ X &lt; N 0 ≤ Y &lt; N 、X 、Y O （N ログ（N ））O （ログ2 （nは））∀x∀x\forall x∀y∀y\forall y0≤x&lt;n0≤x&lt;n0 \le x < n0 ≤ Y&lt; n0≤y&lt;n0 \le y < nバツバツxyyyO （n ログ（n ））O（nログ⁡（n））O(n \log{(n)})O （ログ2（n ））O（ログ2⁡（n））O(\log^2{(n)})

21 ds.algorithms  ds.data-structures  worst-case 

1次元の巡回セールスマンパス問題は、明らかに、並べ替えと同じことなので、時間で比較することで正確に解決できますが、近似だけでなく正確にも定式化されますソリューションは理にかなっています。入力が実数であり、整数への丸めが可能な計算モデルでは、任意の定数について、時間因子内に近似するのは簡単です。：最小値と最大値を見つけ、元の値から距離以内の数値にすべてを丸めてから、基数ソートを使用します。しかし、丸めのあるモデルには複雑な理論があるため、計算の弱いモデルについてはどうでしょうか？O(nlogn)O(nlog⁡n)O(n\log n)1+O(n−c)1+O(n−c)1+O(n^{-c})cccO(n)O(n)O(n)(max−min)n−(c+1)(max−min)n−(c+1)(\max-\min)n^{-(c+1)} そのため、計算の線形比較ツリーモデル（各比較ノードは入力値の線形関数の符号をテスト）で、時間の複雑度がo（n \ logであるアルゴリズムによって、1次元TSPをどれだけ正確に近似できるかn）o(nlogn)o(nlog⁡n)o(n\log n)？同じ丸め方法により、n ^ {1-o（1）}の形式の近似比をn1−o(1)n1−o(1)n^{1-o(1)}実現できます（バイナリ検索を使用して丸めを行い、より粗く丸めて十分に高速化する）。しかし、いくつかの\ epsilon&gt; 0に対してO（n ^ {1- \ epsilon}）のような近似比を達成することは可能ですか？O(n1−ϵ)O(n1−ϵ)O(n^{1-\epsilon})ϵ&gt;0ϵ&gt;0\epsilon>0

21 ds.algorithms  approximation-algorithms  sorting  tsp 

最近、NP困難問題の近似アルゴリズムの調査を開始し、それらを研究する理論的理由について疑問に思っていました。（質問は炎症を起こすことを意図していません-私は単に好奇心が強いです）。 近似アルゴリズムの研究からいくつかの本当に美しい理論が出てきました-PCP定理と近似の硬さの間の関係、UGC予想、ゴーマン-ウィリアムソン近似アルゴリズムなど。 トラベリングセールスマン、非対称トラベリングセールスマン、その他のバリエーション、メカニズム設計のさまざまな問題（組み合わせオークションなど）の問題の近似アルゴリズムを研究するポイントについては疑問に思っていました。過去に、または彼ら自身のために純粋に研究されていますか？ 注：現実の世界では、近似アルゴリズムではなくヒューリスティックが適用されることを知っている限り、実用的なアプリケーションについては尋ねません。ヒューリスティックは、近似アルゴリズムを研究することによって得られる洞察によってほとんど通知されません。問題。

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最近、ソートされた非負数のリストのおおよその合計を計算する問題に取り組みました。固定場合、合計に近似を与える時間近似スキームが導出されています。論文はhttp://arxiv.org/abs/1112.0520に投稿されていますが、最終決定はされていません。ϵ&gt;0ϵ&gt;0\epsilon>0O(logn)O(log⁡n)O(\log n)(1+ϵ)(1+ϵ)(1+\epsilon) 私はこの問題の既存の作品を探していましたが、私はほんの数件のリモート関連の論文を入手して引用しました。この問題は以前に研究されましたか？誰かがこの問題に関する既存の研究を知っているなら、私に知らせてください。私は助けに感謝し、それに応じて引用を更新します。結果が古い場合、紙はゴミ箱に捨てられます。

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（MathOverflowからクロスポスト） こんにちは、 私はこのスレッドを読んでいました：https : //mathoverflow.net/questions/16393/finding-a-cycle-of-fixed-length グラフで5サイクルを見つけたい。実際、私が本当に欲しいのは、少なくとも5の長さの最短の奇数サイクルですが、多分それはポイントの少し横にあります。目的のために、複雑性分析ではと同じように扱います。 nmmmnnn この場合、5サイクルを見つけるためにカラーコーディングよりも優れていますか？私の質問を具体的に定式化してみましょう。 長さ5のサイクルを検出するための時間アルゴリズムがあるような最小は何ですか？アルゴリズムとは何ですか？また、Coppersmith-Winograd高速行列乗算などの非実用的な方法を禁止する場合、このは何ですか？O （M α）ααα\alphaO(mα)O(mα）O(m^\alpha)αα\alpha

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（これは、この質問とその回答のフォローアップです。） 次の完全ユニモジュラー（TU）整数線形プログラム（ILP）があります。ここで 入力の一部として与えられたすべての正の整数です。変数x i jの指定されたサブセットはゼロに設定され、残りは正の整数値を取ることができます。ℓ 、m 、n1、n2、… 、nℓ、c1、c2、 … 、cm、 wℓ、m、n1、n2、…、nℓ、c1、c2、…、cm、w\ell,m,n_{1},n_{2},\ldots,n_{\ell},c_{1},c_{2},\ldots,c_{m},wバツ私はjバツ私jx_{ij} 最小化 ∑mj = 1cj∑ℓi = 1バツ私はj∑j=1mcj∑私=1ℓバツ私j\sum_{j=1}^{m}c_{j}\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij} 対象： ∑mj=1xij=ni∀i∑j=1mxij=ni∀i\sum_{j=1}^{m}x_{ij}=n_{i}\,\,\forall i ∑ℓi=1xij≥w∀j∑i=1ℓxij≥w∀j\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij}\ge w\,\,\forall j 標準形の係数行列であるのエントリを有する行列- 1 、0 、1。(2ℓ+m)×ℓm(2ℓ+m)×ℓm(2\ell+m)\times \ell m−1,0,1−1,0,1{-1,0,1} 私の質問は： そのようなILPを解決する多項式時間アルゴリズムの実行時間について知られている最高の上限は何ですか？これに関する参考文献をいくつか教えていただけますか？ 私はいくつかの検索を行いましたが、ほとんどの場所で、TU ILPはLPの多項式時間アルゴリズムを使用して多項式時間で解くことができると言っています。有望に見えたものの1つは、Tardos [1]による1986年の論文で、このような問題は係数行列のサイズの時間多項式で解決できることを証明しています。しかし、この論文から理解できる限り、そのアルゴリズムの実行時間は、LPを解くための多項式時間アルゴリズムの実行時間に依存します。 LPの問題を解決する一般的なアルゴリズムよりも大幅に高速な（TU ILPの）この特殊なケースを解決するアルゴリズムを知っていますか？ そうでない場合、 LPのどのアルゴリズムが、このようなILPを（漸近的な意味で）最速で解決しますか？ [1]組み合わせ線形計画を解くための強力な多項式アルゴリズム、Eva Tardos、Operations Research 34（2）、1986

21 ds.algorithms  reference-request  linear-programming  integer-programming  polynomial-time