実際には、直感に反して解決できる問題はありますか？

最近、私は計算の複雑さの概念を非公式に説明した痛みを伴う楽しい経験を経験しました。才能のある独学のプログラマーはアルゴリズムや複雑さの正式なコースを受講したことがありません。驚くことではないが、概念の多くは、いくつかの例で最初のが、作られた意味で奇妙に思えた（PTIME、扱いにくさ、uncomputability）他の人がより自然に来るように見える一方で、（リソース、漸近解析などの削減、時間と空間を経由して、問題の分類を）。SATを誤って認めるまで、すべてが順調でした効率的に解決できます*実際には...そしてそのように、私はそれらを失いました。私がどれほど説得力を持って理論を主張しようとしていたかは関係ありませんでした。子供はそれがすべて人工的なくだらない数学であると彼が気にするべきではないと確信していました。まあ...

¯\ _（ツ）_ /¯

いいえ、私は心を痛めていませんでしたし、彼が何を考えていたかについても気にしませんでした。それはこの質問のポイントではありません。私たちの会話は私に別の質問を考えさせました、

理論的には難解（超多項式時間の複雑さ）であるが、実際には（ヒューリスティック、近似、SATソルバーなどを介して）解ける問題について、実際にどのくらい知っていますか？

あまり気づかなかった。私は、巨大なインスタンスを効率的に解決するいくつかの非常に効率的なSATソルバーがあり、シンプレックスが実際にうまく機能し、さらにいくつかの問題やアルゴリズムがあることを知っています。より完全な絵を描くのを手伝ってもらえますか？このカテゴリに含まれる既知の問題または問題のクラスはどれですか？

TL; DR：実際には、直感に反して解決できる問題とは何ですか？さらに読むための（更新された）リソースはありますか？それらの特性はありますか？そして最後に、一般的な議論の質問として、我々はそうではないでしょうか？

EDIT＃1：例えば、約私の最後の議論の質問に答えるためにしようとして特徴づけを、私はに導入された平滑化解析アルゴリズムの、連続ワーストケースの間を補間すること[1]でダニエル・スピールマンとシャン・フア・テンによって導入コンセプトとアルゴリズムの平均ケース分析。これは、上記の説明とまったく同じではありませんが、同じ概念を捉えており、興味深いものでした。

[1] Spielman、Daniel A.、およびShang-Hua Teng。「アルゴリズムのスムーズな分析：シンプレックスアルゴリズムが通常多項式時間を要する理由。」Journal of the ACM（JACM） 51、no。3（2004）：385-463。

• 高度に構造化されたSATインスタンス（何百万もの変数であっても）は、実際に解決できることがよくあります。ただし、数百個の変数を含む充足可能性しきい値に近いランダムなSATインスタンスはまだ開いています（実際には、そのようなものを生成した場合、生成したものが充足可能かどうかは宇宙の寿命の中で決してわからない可能性があります現在のSATソルバーを使用）。この関連する質問とその回答に興味があるかもしれません。

• クリークファインダは、「実際に」衝撃的に優れています

  • クリークファインダに関して、（一部）説明は、問題のアルゴリズムの平均ケース分析によって与えられます。

    https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166218X18300167?via%3Dihubを参照してください

• 整数計画法と混合整数線形計画法（一部の有理変数と一部の整数変数を使用）は、Operations Research部門全体の焦点であり、しばしば（常にではないが）実際に解決できる

• 私が理解していることから、検証で発生する多くの完全な問題は実際に解決できることがよくありますが、「実際」は通常「高度に構造化されたインスタンス」を意味します。（対照的に、Goのゲームの非常に小さなインスタンスで誰が勝つかはまだわかりません。これは別のP S P A C E完全な問題です。）$\mathsf{PSPACE}$$\mathsf{PSPACE}$

• 計算代数幾何学の多くの問題は、Grobnerベースを使用する小さなインスタンスで実際に解決できますが、これらは大きなインスタンス、または「複雑性」の高い小さなインスタンス（Castelnuovo-Mumford規則性で測定）で惨めに失敗します。そして、これらの問題は完了です！$\mathsf{EXPSPACE}$

• DWのコメントで既に指摘したように、グラフ同型は実際にはほとんど解決できます。nauty、bliss、saucyなどの最新のGIソフトウェアを切り詰めるのは非常に困難です。

ヒンドリー-ミルナーのタイプのシステムは、機能プログラミング言語（ハスケル、SML、OCamlの）に使用されます。型推論アルゴリズムは実際にはほぼ線形であり、驚くほどうまく機能しますが、DEXPTIME完全であることが知られています！

一般的なコメント：最悪の時間の複雑さが必ずしもアルゴリズムの実際のパフォーマンスの非常に良い尺度ではないことは驚くことではありません。しかし、理論と実践の不一致が複雑性理論を役に立たないと言うのは、利用可能なすべての数のごくわずかな量しか使用しないため、自然数は無駄だと言うようなものです。有名な哲学者はかつて「理論のない経験は盲目ですが、経験のない理論は単なる知的遊びです」と言っていました。

主にプログラミング言語のその他の例：

1. k-CFA（k-Control Flow Analysis）はEXPTIME完全（Van Horn＆Mairson 2008）ですが、MLtonのようなプログラム全体最適化コンパイラーはとにかくそれを実行します。コンパイル時間は長くなりますが、めったに壊滅的ではありません。
2. （動的な）オーバーロードの解決は、通常NP完全です（Palsberg 2012）。しかし、それは現実の世界ではめったに問題ではありません。
3. $k$
4. SMTソルバは一般にNP完全ですが、市販のSMTソルバ（Z3やCVC4など）は通常かなり高性能です。私はSMTソルバーを直接使用していませんが、Liquid HaskellとDafnyからZ3を間接的に使用しており、チェック時間は問題ないようです。
5. プレスバーガー算術の決定問題は本当に複雑ですが（Fischer＆Rabin 1974）、ビルピューの決定アルゴリズムであるオメガテスト（Pugh 1991）は、一般に低次の多項式時間内で実行されます。

$O$$n$$n$

参照：

[1]デビッドヴァンホーンとハリーG.メアソン。2008. EXPTIMEのkCFAの決定が完了しました。で関数型プログラミング第13回ACM SIGPLAN国際会議の議事録（ICFP '08）。ACM、ニューヨーク、ニューヨーク、米国、275〜282。

[2] http://web.cs.ucla.edu/~palsberg/paper/dedicated-to-kozen12.pdf

[3] MJフィッシャーとMOラビン。1974年。プレスバーガー算術の超指数関数的複雑さ。テクニカルレポート。米国マサチューセッツ州ケンブリッジのマサチューセッツ工科大学。

[4]ウィリアム・ピュー。1991. Omegaテスト：依存性解析のための高速で実用的な整数プログラミングアルゴリズム。ではスーパーコンピューティングの1991 ACM / IEEE会議の議事録（スーパーコンピューティング'91）。ACM、ニューヨーク、ニューヨーク、米国、4-13。

勾配降下法を使用したニューラルネットワークのトレーニングは、np-hardの問題であることが実証されていますhttps://www.cs.utexas.edu/~klivans/crypto-hs.pdfです が、実際には一般的に解決可能です。