完全にユニモジュラーの整数線形プログラムをどのくらい速く解くことができますか？

（これは、この質問とその回答のフォローアップです。）

次の完全ユニモジュラー（TU）整数線形プログラム（ILP）があります。ここで 入力の一部として与えられたすべての正の整数です。変数x i jの指定されたサブセットはゼロに設定され、残りは正の整数値を取ることができます。$\ell,m,n_{1},n_{2},\ldots,n_{\ell},c_{1},c_{2},\ldots,c_{m},w$$x_{ij}$

最小化

$\sum_{j=1}^{m}c_{j}\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij}$

対象：

$\sum_{j=1}^{m}x_{ij}=n_{i}\,\,\forall i$

$\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij}\ge w\,\,\forall j$

標準形の係数行列であるのエントリを有する行列- 1 、0 、1。$(2\ell+m)\times \ell m$${-1,0,1}$

私の質問は：

そのようなILPを解決する多項式時間アルゴリズムの実行時間について知られている最高の上限は何ですか？これに関する参考文献をいくつか教えていただけますか？

私はいくつかの検索を行いましたが、ほとんどの場所で、TU ILPはLPの多項式時間アルゴリズムを使用して多項式時間で解くことができると言っています。有望に見えたものの1つは、Tardos [1]による1986年の論文で、このような問題は係数行列のサイズの時間多項式で解決できることを証明しています。しかし、この論文から理解できる限り、そのアルゴリズムの実行時間は、LPを解くための多項式時間アルゴリズムの実行時間に依存します。

LPの問題を解決する一般的なアルゴリズムよりも大幅に高速な（TU ILPの）この特殊なケースを解決するアルゴリズムを知っていますか？

そうでない場合、

LPのどのアルゴリズムが、このようなILPを（漸近的な意味で）最速で解決しますか？

[1]組み合わせ線形計画を解くための強力な多項式アルゴリズム、Eva Tardos、Operations Research 34（2）、1986

Yannakakisの完全ユニモジュラー行列のクラスでは、TU ILPの特殊なケースに関する質問への答えが得られると信じています（係数行列を隣接行列と見なして得られる2部グラフに奇数サイクルがない場合）。

その論文では、線形プログラムのクラスの多項式アルゴリズムへの参照がありますが、これはすべて完全にユニモジュラー行列を処理しているようですが、LPの一般的なアルゴリズムと比べてどれほど効率的かはわかりません。

$O([n^3/\ln n]L)$

完全にユニモジュラLPは、「縮退の仮定」の下で強く多項式時間で解けることが示されている- ここのリンクで（ILPは、同じ前提条件に完全ユニモジュラ（TU）の製剤を持っている場合ので、このアルゴリズムはTU ILPを解決するだろう、強力な多項式時間：これはTardosの手法からの発展であり、TU（Totally Unimodular）ILP定式化に対するより厳密な境界を意味します。