疎グラフで5サイクルを効率的に見つける。

（MathOverflowからクロスポスト）

こんにちは、

私はこのスレッドを読んでいました：https : //mathoverflow.net/questions/16393/finding-a-cycle-of-fixed-length

グラフで5サイクルを見つけたい。実際、私が本当に欲しいのは、少なくとも5の長さの最短の奇数サイクルですが、多分それはポイントの少し横にあります。目的のために、複雑性分析ではと同じように扱います。 $m$ $n$

この場合、5サイクルを見つけるためにカラーコーディングよりも優れていますか？私の質問を具体的に定式化してみましょう。

長さ5のサイクルを検出するための時間アルゴリズムがあるような最小は何ですか？アルゴリズムとは何ですか？また、Coppersmith-Winograd高速行列乗算などの非実用的な方法を禁止する場合、このは何ですか？ $\alpha$ $O(m^\alpha)$ $\alpha$

— アンドリュー・D・キング
ソース

MOからのクロスポスト。

— Hsien-Chih Chang張顯之

グラフはスパース以外の特別な構造を持っていますか？（たとえば、縮退が少ないなど。）

— ロビンコタリ

いいえ、グラフを必要なだけ悪魔的なものにすることができます。実際、グラフがまばらであっても気にしません：線グラフ

と、その下にあるグラフ

を

（

は単純であると仮定できます）と考えています。私が扱う理由

と

同じことは私が知っていることです

G

$G$

H

$H$

G = L (H)

$G=L(H)$

H

$H$

| E (H) |

$|E(H)|$

| V (H) |

$|V(H)|$

| E (H) | = | V (G) |

$|E(H)|=|V(G)|$ との複雑さを分析したい

と

が、私はどのようにについては何も言うことができません

と比較する

。

| V (G) |

$|V(G)|$

| E (G) |

$|E(G)|$

| E (H) |

$|E(H)|$

| V (H) |

$|V(H)|$

— アンドリューD.キング

明確にするために、サイクルに繰り返される頂点が含まれていても構いませんか？

— user834

頂点の繰り返しは許可していませんが、5サイクルの場合、グラフは単純であり、したがって2サイクルを持たないと想定しているため、問題ではありません。

— アンドリューD.キング

回答:

ミハイの答えに追加するには：

実際、スパースグラフの5サイクル（および一般にサイクル）は、高度/低度のトリックを使用して時間よりもはるかに高速に解決できます。Alon、Yuster、Zwickの別の論文を見るだけで十分です。 $k$ $O(mn)$

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.101.4120

たとえば、5サイクルは時間にあり、行列乗算に依存することはありません。上記のリンクされた論文の定理3.4を参照してください。 $O(m^{1.67})$

また、5サイクル検出をブール行列乗算（定数のオーバーヘッドを伴う）に減らすことはそれほど難しくありませんが、反対方向の減少はカラーコーディング用紙には現れません。ブール行列乗算から5サイクル検出への厳密な削減（実行時の複雑さを保持）は不明です。

— ライアン・ウィリアムズ
ソース

密な場合は、基本的に色分けによるブール行列の乗算と同等です。http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.103.5167&rep=rep1&type=pdfを参照してください。

$O(mn)$

— ミハイ
ソース

ありがとうございました！Monienの論文にアクセスできるようになったら、これを見ていきます。

— アンドリューD.キング