ソートされたリストのおおよその合計

最近、ソートされた非負数のリストのおおよその合計を計算する問題に取り組みました。固定場合、合計に近似を与える時間近似スキームが導出されています。論文はhttp://arxiv.org/abs/1112.0520に投稿されていますが、最終決定はされていません。$\epsilon>0$$O(\log n)$$(1+\epsilon)$

私はこの問題の既存の作品を探していましたが、私はほんの数件のリモート関連の論文を入手して引用しました。この問題は以前に研究されましたか？誰かがこの問題に関する既存の研究を知っているなら、私に知らせてください。私は助けに感謝し、それに応じて引用を更新します。結果が古い場合、紙はゴミ箱に捨てられます。

この問題は、より一般的な問題のほとんどが対処されている次のペーパーで解決されます：http : //valis.cs.uiuc.edu/~sariel/papers/06/integrate/。

Har-Peledのコアセットペーパーの証明の詳細を読んだ後、彼の方法は、ソートされた非負数のおおよその合計に対するO（log n）時間アルゴリズムを意味することを理解しました。コアセットは、ソートされたリスト内の数値のサブセットによって形成され、それらの位置はリストサイズnと近似比イプシロンのみに依存します。コアセット内のすべてのポイントの重みは、O（log n）時間で計算可能です。したがって、ソートされたリストのおおよその合計に対するO（log n）時間アルゴリズムをもたらしますが、論文では明確に主張されていません。アルゴリズムは、Har-Peledの論文の主張された定理ではなく、コアセット構築の証明に隠されているため、論文の結果を確認した直後にそのような結論は見られませんでした。

O（log n）時間アルゴリズムを含むセクション4を削除して、論文を改訂しました。Har-Peledの論文は更新版で引用されています。最初のアルゴリズムは、O（log n）時間と比較できないほど複雑であるため、引き続き保持されます。たとえば、ソートされた入力リストの数値が0〜（log n）^ {O（1）}の範囲にある場合、O（log log n）時間で実行されます。このアルゴリズムは、コアセットの構築とは大きく異なる2次領域検索に基づいています。時間の下限も保持されますが、わずかに修正されます。

今、私はこの行の作品についてより良いアイデアを持っています。素晴らしいフィードバックを提供してくれるこのウェブサイトの理論的なコンピューターサイエンスの同僚からの専門家の助けに本当に感謝しています。私の改訂論文は、数日中に同じアーカイブサイトで利用できるようになります。見落とされる可能性のある関連参照についてのさらなるコメントを心から歓迎します。

ビンフー

Har-Peledのコアセットペーパーは、おおよその和問題に対するサイズのコアセットの存在を示しています。これは些細なことのようで、$\mathcal{O}(\log n)$、おおよその和問題に対する（log n ）時間アルゴリズムを。$\mathcal{O}(\log n)$

と仮定します。固定されています。ソートされたリストについては0 ≤ A 1 ≤ A 2 ≤ $\varepsilon > 0$、以下の点が近似和問題に対する自明coresetを形成します。$0\leq a_1 \leq a_2 \leq \dots \leq a_n$

$\qquad a_n, \frac{a_n}{1+\varepsilon}, \frac{a_n}{(1+\varepsilon)^2}, \dots , \frac{a_n}{(1+\varepsilon)^k}$

以下のためのいくつか$k \in \mathcal{O}\left(\frac{\log n}{\varepsilon}\right)$

$\mathcal{O}(\log n)$$\mathcal{O}(\log n)$$\mathcal{O}(\log n)$

$\mathcal{O}(\log n)$$a_n \cdot (1+\varepsilon)^{-j}$$a_n \cdot (1+\varepsilon)^{-j}$$a_n \cdot (1+\varepsilon)^{-(j+1)}$$\mathcal{O}((\log n)^2)$