タグ付けされた質問 「graph-theory」

グラフ、エッジで接続されたノードの離散構造に関する質問。人気のフレーバーは、エッジキャパシティを持つツリーとネットワークです。

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ランダムグラフのクリーク数
（Gilbertによる）n個のノードを持つランダムグラフファミリーがあります。可能な各エッジは、確率pでG （n 、p ）に独立して挿入されます。ましょX kはサイズのクリークの数であり、KにおけるG （N 、P ）。G （n 、p ）G(n,p)G(n, p)んnnG （n 、p ）G(n,p)G(n, p)pppバツkXkX_kkkkG （n 、p ）G(n,p)G(n, p) 私が知っている、しかしどうやってそれを証明するのですか？E（ Xk）= （ nk） ⋅P（ k2）E(Xk)=(nk)⋅p(k2)\mathbb{E}(X_k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^{\tbinom{k}{2}} どのように表示するについてのn → ∞の？そして、どのように表示することE（X C ⋅ ログ2 N）→ 0のためのN → ∞と固定、任意の定数をC > 1？E（ Xログ2ん）≥ 1E(Xlog2⁡n)≥1\mathbb{E}(X_{\log_2n})\ge1n → ∞n→∞n\to\inftyE（ XC ⋅ ログ2ん）→ 0E(Xc⋅log2⁡n)→0\mathbb{E}(X_{c\cdot\log_2n}) \to 0n → …
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有向グラフ診断がNP困難であることの証明
宿題をしていて、しばらく頭をぶつけてしまいました。ヒントがあれば教えてください。それは、既知の問題を選択し、そのNP完全性が証明され、その問題から次の問題への還元を構築することについてです。DGD（有向グラフ診断）と呼びます。 問題 DGD のインスタンスは、頂点V = Iで構成されます。∪ O 。∪ B、有向エッジE及び正の整数K。頂点には3つのタイプがあります。入力エッジのみを持つ頂点I、出力エッジのみを持つ頂点O、および入力エッジと出力エッジBの両方を持つ頂点です。さらにD = O × Iとします。（V、E、k ）(V,E,k)(V,E,k)V= 私∪。O ∪。BV=I∪.O∪.BV = I \overset{.}{\cup} O \overset{.}{\cup} BEEEkkk私IIOOOBBBD = O × ID=O×ID=O\times I さて、問題は、我々は最大で持つすべてのノードをカバーできるかどうかであるの要素D、すなわちkkkDDD ∃S⊆D,|S|≤k. ∀v∈V. ∃(v1,v2)∈S. v1→∗v→∗v2∃S⊆D,|S|≤k. ∀v∈V. ∃(v1,v2)∈S. v1→∗v→∗v2\qquad \displaystyle \exists\,S\subseteq D, |S|\leq k.\ \forall\, v\in V.\ \exists\,(v_1,v_2) \in S.\ v_1 \to^* v \to^* …
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すべての重みが正になるように定数を追加するだけでは、負の重みを持つ最短経路を見つけられないのはなぜですか？
私は現在、アルゴリズムの概要を読んでいて、すべてのパスが正であることを確認することに依存するジョンソンのアルゴリズムを採用しました。 アルゴは、すべてのエッジに対して正であり、最短経路関係の正確さを維持する新しい重み関数（w '）を見つけることに依存しています。 これは、w（s）、h（d）の値を計算して、wの元の値に追加します。 私の質問は、グラフの最小のwを見つけてすべてのエッジに追加しないのはなぜですか？これは両方の条件を満たすため、計算量が少なくて済みます。
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ソーシャルネットワークグラフの問題
ここに問題があります： 多数の人々を表すノードと接続されたグラフがあります。各ノード/人は、トランプ対クリントン、紙の本対キンドルなどのトピックについて意見を持っています 目標は、特定の順序でノードの特定のサブセットを選択することにより、グラフ内のすべてのノードが同じ意見を共有するようにすることです。 人Aの友人の過半数が切り札をサポートしているが、人Aはクリントンをサポートしている場合。人物Aが選択された場合、彼/彼女の意見は切り札に変わります。 人の友達の意見を均等に分ければ、選択した人の意見を決めることができます。 これをどのように証明できるかを考えて、私はアイデアを使い果たしています。たぶん、あなたの一部は私にいくつかの指針を与えることができます。
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人々がお互いにプレゼントを購入するためのショッピング旅行の最小数
nnn人のグループがあります。グループ内の誰にプレゼントを買わなければならないかというリストが与えられます。一人一人がプレゼントをいくつでも買う必要があるかもしれません。ショッピング旅行では、人々のサブセットが同じ店に一緒に旅行し、店にいない人のためにプレゼントを購入します。彼らは同じ買い物で他の人にプレゼントを買わないかもしれません。人は複数の買い物旅行に行くかもしれません。みんなが必要なプレゼントを買うのに必要な買い物の回数をできるだけ少なくしたい。 例として、5人でグループ内の他のすべての人にプレゼントを購入する必要がある場合を考えます。人に1から5までの番号を付けます。これは、次のように4回の買い物で行うことができます。 旅行1：1、2、3、買い物に行く 旅行2：1、4、5は買い物に行く 旅行3：2、4、買い物に行く 旅行4：3、5買い物に行く この問題を解決するにはどうすればよいですか？入力を有向グラフで表すことができるのは明らかですが、そこからどこに行くべきかわかりません。誰かがビクリクカバーの問題を提起しましたが、似ていますが、この質問には答えません。 入力はn個の頂点の有向グラフと考えることができます。ここで、エッジ（u 、v ）は、人uが人vのプレゼントを購入する必要があることを意味します。目標はbicliquesのセットを見つけることである（S 1、T 1）、... 、（SのK、TがK）ように、kが最小であり、エッジ集合Eグラフのがのサブセットである∪ I（S I × T 私GGGnnn(u,v)(u,v)(u,v)uuuvvv(S1,T1),…,(Sk,Tk)(S1,T1),…,(Sk,Tk)(S_1,T_1),\dots,(S_k,T_k)kkkEEE∪i(Si×Ti)∪i(Si×Ti)\cup_i (S_i \times T_i)。また、ビクリクの定義を有向グラフに拡張すると、ビクリク(Si,Ti)(Si,Ti)(S_i,T_i)は、SiSiS_iをマッピングするエッジのみが含まれますTiTiT_i。bicliqueカバーの問題からこれ異なり、我々はの部分グラフであることを各bicliqueを必要としないという点で、GGG（私たちは必要ありませんSi×Ti⊆ESi×Ti⊆ES_i \times T_i \subseteq Eそれぞれのiii）。 具体的には、次のいずれかの答えを受け入れます。 この問題がNP困難または この質問に正確に答える多項式時間アルゴリズムを提示します（近似または上限なし） 記録としては、この問題はどこにも見られませんでした。私は自分の好奇心のためにそれについて疑問に思っています。
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ポイント距離で重み付けされたエッジを持つグラフからポイント埋め込みを復元する
重み付けされたエッジを持つ無向グラフを提供し、各ノードが3D空間内のポイントに対応していることを伝えたとします。2つのノード間にエッジがある場合は常に、エッジの重みがポイント間の距離になります。 目標は、使用可能な距離（エッジの重みで表される）のみを指定して、ポイントの相対位置を再構築することです。私はあなたが得られた場合、例えば、、あなたは点は四面体の頂点である知ります。原点との相対的な位置や方向、またはミラーリングされているかどうかはわかりませんが、四面体であることがわかります。d0 、1= d0 、2= d0 、3= d1 、2= d1 、3= d2 、3= 1d0,1=d0,2=d0,3=d1,2=d1,3=d2,3=1d_{0,1} = d_{0,2} = d_{0,3} = d_{1,2} = d_{1,3} = d_{2,3} = 1 一般に、すべてのエッジ長を指定すると問題は簡単です。ちょうど任意点ピックであることを（0 、0 、0 ）、次に隣接点の選択、P 1とでそれを置く（D 0 、1、0 、0 ）、共通の隣接、P 2は上三角ますXY平面、最後の共通の近傍p 3は、半空間z > 0に三角形分割されます。p0p0p_0（0 、0 、0 ）(0,0,0)(0,0,0)p1p1p_1（d0 、1、0 、0 ）(d0,1,0,0)(d_{0,1},0,0)p2p2p_2p３p3p_3z> 0z>0z > 0残りの対称性を壊します（縮退点を選択しなかった場合）。これら4つの点を使用して、残りのすべての点を三角形分割できます。 一方、一部のエッジ長が欠落している場合、埋め込みを復元できない可能性があります。たとえば、カット時にグラフを切断する頂点がある場合、削除すると分離する2つのコンポーネントは、互いに対して揺れ動く可能性があります。 これは問題を提起します： …
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配線長の最小化
私の問題は次のとおりです： 物理的なレイアウトをグラフで表示しています。ノードはワイヤーが固定できるフック/ダクトを表し、エッジはワイヤーが行くことができる2つのノード間の可能な接続です。 スプリッターと呼ばれるいくつかの特別なノードがあり、そこから1本のワイヤーを2つ以上kに分割できます。kは今のところ一定とすることができますが、ノードごとに異なります。すべてのノードがスプリッターであるとは限りません。 ワイヤーが出てくるところから電源の1つがあります。ソースです。ワイヤーはn個のシンクに接続する必要があります。 エッジは、任意の数のワイヤーをいずれかの方向に通過できます。 ワイヤーの全長を最小化する必要があります。 グラフ、平面またはユークリッドの性質は不明です。 例：以下はサンプルネットワークです。ノードには番号が付けられ、エッジには同じ重み1が付けられます。ソースはNode1、シンクはNode5、Node9、Node13です。1の場合、Node6はスプリッターノードです。2の場合、Node6とNode4はスプリッターノードです。スプリッターノードのk = 3、つまり、1つのワイヤーを取り込んで3つのワイヤーに分割できます。 事例1。1つのスプリッターノードのみ。Node6で分割することは理にかなっています。 事例2。2つのスプリッターノード。Node6ではなくNode4で分割することは理にかなっています。 この問題の一般的な解決策を見つけるためのさまざまな戦略を探しています。ここに示すグラフは、手元にある問題に比べてスケールが小さくなっています。グラフは静的で変更できません（つまり、ソリューションが新しいエッジを提案したり、新しいスプリッターの場所を提案したりしてはなりません）。この種の問題について発表された研究論文への言及も歓迎します。 事例3。2つのスプリッターノード。Node4とNode14で分割することは理にかなっています。このケースでは、エッジ8-12、6-10、および10-11のエッジの重みが変更されていることに注意してください。この場合の重要なことは、Node14から分割された後のワイヤーの再トレースです。
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ペブル問題
Pebblingは、無向グラフでプレイされるソリティアゲームで、各頂点には0個以上の小石があります。単一の小石の移動は、頂点vから2つの小石を削除し、1つの小石をvの任意の隣接に追加することで構成されます。（明らかに、頂点vは移動前に少なくとも2つの小石を持っている必要があります。）PebbleDestruction問題は、シーケンスがあるかどうか、各頂点vのグラフG = （V ; E ）と小石カウントp （v ）が与えられると尋ねます1つを除くすべての小石を削除する小石の動きの。PebbleDestructionがNP完全であることを証明します。GGGvvvvvvG=(V;E)G=(V;E)G = ( V; E )p(v)p(v)p ( v )vvv まず、多項式時間で解を検証できるので、それがNPであることを示します。1つの小石から小石の数をさかのぼって追跡できます。 次に、多項式時間削減の基礎としてどの問題を使用するかについてのアイデアは何ですか？ 頂点カバーのようなものは機能しますか？または異なるサイズの頂点カバー？ もしそうなら、それはどのように各移動で小石のさまざまな数を処理できますか？ ありがとうございました。 From：http : //courses.engr.illinois.edu/cs473/sp2011/hw/disc/disc_14.pdf
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コードグラフ与えられた場合、簡約クリークグラフの計算の複雑さはどのですか？
グラフは、長さが以上のサイクルを引き起こさない場合、弦です。クリークツリーのツリーの頂点の最大クリークされた木である。のエッジは最小のセパレーターに対応します。別個のクリークツリーの数は、コードグラフの頂点の数で指数関数的になる可能性があります。GGG444TTTGGGGGGTTT 減少クリークグラフ 、すべてのクリーク木の組合である。つまり、すべて同じ頂点とすべての可能なエッジがあります。与えられたを計算する複雑さは何ですか？Cr(G)Cr(G)C_r(G)GGGCr(G)Cr(G)C_r(G)GGG が証明なしで時間で計算できると主張するプレゼンテーションを見たことがあります。これは、クリークツリーを計算するのと同じくらい簡単であることを意味します。これを確認する、またはそれを計算するためのより遅いアルゴリズムを与えるリファレンスはありますか？Cr(G)Cr(G)C_r(G)O(m+n)O(m+n)O(m+n)GGG
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複数日の割り当て問題
割り当て問題に帰着できる問題があります。（前の質問で、その方法を見つけました。） つまり、エージェントのセットとタスクのセットT、およびコスト関数c （i 、j ）があることを意味します。総コストが最小になるように割り当てを見つける必要があります。あAATTTc （i 、j ）c(i,j)c(i,j) ハンガリーのアルゴリズムは、少なくともにおける最適解を見つけることができます。いいですね。O （n4）O(n4)O(n^4) 私の新しい問題は：与えられた日数があります。私は毎日の割り当て問題を解決する必要があるので、すべてのタスクが毎日実行され、エージェントが同じタスクを2回実行することはありません。 私が試した内容：ハンガリーのアルゴリズムを毎日個別に実行し、前日の結果に基づいて可能な組み合わせの数を制限できます。しかし、これにより、後日、実現可能な解決策を見つけることが不可能になる可能性が最も高いいくつかの日に問題が発生します。 別のアイデアは、ローカル検索を何らかの方法で統合して、前日に行われた決定を変更することです。でも、これに頼ることはできないと思います。 私が直面しなければならない問題のインスタンスはどこかにあります。コストマトリックスC （i 、j ）には、同じ値が多数含まれます（たとえば、ほとんどが1または無限大で、2または3しかありません）。したがって、ハンガリーのアルゴリズムでは、1日のさまざまな最適解を作成するための多くのスペースがあります。| A | = | T| =500|A|=|T|=500|A| = |T| = 500C（私、j ）C(i,j)C(i,j) 問題の適切な解決策を見つけるためのアイデアやアドバイスを喜んで提供します。前もって感謝します。
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二分木の平均高さはどれくらいですか？
二分木の平均高さについて正式な定義はありますか？ 次の2つの方法を使用してバイナリツリーの平均の高さを見つけることに関するチュートリアルの質問があります。 自然な解決策は、ルートからリーフへのすべての可能なパスの平均の長さを取ることです。 。avh1(T)=1# leaves in T⋅∑v leaf of Tdepth(v)avh1⁡(T)=1# leaves in T⋅∑v leaf of Tdepth⁡(v)\qquad \displaystyle \operatorname{avh}_1(T) = \frac{1}{\text{# leaves in } T} \cdot \sum_{v \text{ leaf of } T} \operatorname{depth}(v) 別のオプションは、再帰的に定義することです。つまり、ノードの平均の高さは、サブツリーの平均の高さの平均に1を加えたものです。つまり、 avh2(N(l,r))=avh2(l)+avh2(r)2+1avh2⁡(N(l,r))=avh2⁡(l)+avh2⁡(r)2+1\qquad \displaystyle \operatorname{avh}_2(N(l,r)) = \frac{\operatorname{avh}_2(l) + \operatorname{avh}_2(r)}{2} + 1 リーフのためのL及びAVH 2（_ ）= 0空きスロット用。avh2(l)=1avh2⁡(l)=1\operatorname{avh}_2(l) = 1lllavh2(_)=0avh2⁡(_)=0\operatorname{avh}_2(\_) = 0 …
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グラフ彩色問題のNP完全性
代替処方 私は以下の問題に対する別の定式化を思いつきました。代替の定式化は、実際には以下の問題の特殊なケースであり、2部グラフを使用して問題を説明します。しかし、私は代替処方はまだNP難しいと私は信じています。代替の定式化では、問題の定義を単純化する着信ノードと発信ノードの互いに素なセットを使用します。 与えられた送信およびN受信ノード（それぞれ、図中の赤色および青色のノード）、及びセットW I jの大きさのN × Nの発信と着信頂点間の辺の重みの。この問題の目標は、図の太いエッジに色を付けて、すべての入力ノードに対して条件が成立するようにすることです。んnnんnnw私はjwijw_{ij}n × nn×nn \times n セットの出力頂点、セット { I i{ O私|i = 1 … n }{Oi|i=1…n}\{ O_i \; | \; i=1 \dots n \}入力頂点の、 N × Nの重み wは、I 、J ≥ 0との間の O I 'sおよび I 、Jのための I 、J = 1 ... nは、正の定数を β、色の最小数を見つけます。エッジに対する E I …
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同値関係は問題をカバーします（グラフ理論）
有限頂点セットの同値関係は、クリークの互いに素な結合である無向グラフで表すことができます。頂点セットは要素を表し、エッジは2つの要素が同等であることを表します。 私はグラフがある場合はやグラフG 1、... 、Gのkは、我々はと言うGがで覆われているG 1、... 、Gのk個の辺の集合ならばGは、の辺の和集合に等しく、G 1、… 、G k。G 1、… 、G kのエッジセットは互いに素である必要はありません。無向グラフGGGGG1,…,GkG1,…,GkG_1,\dots,G_kGGGG1,…,GkG1,…,GkG_1,\dots,G_kGGGG1,…,GkG1,…,GkG_1,\dots,G_kG1,…,GkG1,…,GkG_1,\dots,G_kGGG 有限数の同値関係（つまり、クリークグラフの素な結合）でカバーできます。 いくつか質問があります。 グラフをカバーするために必要な同値関係の最小数については何が言えますか？GGG この最小数をどのように計算できますか？ 明示的な最小カバー、つまり、サイズが最小でGをカバーする同値関係のセットをどのように計算できますか？GGGGGG この問題には、パーティションロジック（サブセットのロジックのデュアル）以外のアプリケーションがありますか？ この問題には十分に確立された名前がありますか？ コメントに示されているさまざまな誤解を踏まえて、これらの概念を説明するための写真を次に示します。わかりやすい用語（「カバー」、「同値関係」、「クリークの非論理和」、「エッジセットの非論理結合」ではない）のアイデアがある場合は、遠慮なくお知らせください。 以下は、グラフとそれをカバーする1つの等価関係の図です。 以下は、グラフと それをカバーする 2つの等価関係の図です。少なくとも2つの等価関係が必要であることは明らかです。 以下は、グラフと それをカバーする 3つの等価関係の図です。少なくとも3つの等価関係が必要であることはそれほど明白ではありません。Dual of the Logic of Subsetsの Lemma 1.9を使用して、これが正しいことを示すことができます。この補題を2つ以上の入力を持つnand操作に一般化することが、この質問の動機でした。
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隣接行列の固有値の背後にある直観
私は現在、チーガーバウンドとチーガーの不等式の使用、およびスペクトル分割、コンダクタンス、拡張などへのそれらの使用を理解するために取り組んでいますが、隣接行列の2番目の固有値に関する直感の開始にまだ苦労しています。 通常、グラフ理論では、私たちが遭遇するほとんどの概念は非常に単純で直感的ですが、この場合、どのようなグラフで2番目の固有値が非常に低いか非常に高いかを考え出すこともできません。 SEネットワークのあちこちで尋ねられた同様の質問を読んでいますが、それらは通常、さまざまなフィールドの固有値（多変量解析、ユークリッド距離行列、相関行列 ...）を参照しています。 しかし、スペクトル分割とグラフ理論については何もありません。 誰かがグラフと隣接行列の場合に、この2番目の固有値の直感/経験を試して共有できますか？
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ダイグラフを可逆的な方法で無向グラフに変換する
私は、有向グラフ（有向グラフ）を無向グラフに可逆的に変換するアルゴリズムを探しています。つまり、無向グラフが与えられれば、有向グラフは再構築可能でなければなりません。これは無向グラフの頂点が増えることで発生することを理解していますが、気にしません。 これを行う方法を知っているか、参照を提案できますか？前もって感謝します。 更新：以下のAdrianNの回答について。それは良い出発点かもしれませんが、それが現在の形で機能するとは思いません。これが私がそうではないと思う理由の画像です： DWのコメントの後に更新：グラフの頂点はラベル付けされていないと見なします。解決策が頂点のラベル付けを伴う場合（AdrianNのように）、ラベル付けがどのように行われても、同じ（同形）無向グラフが得られるはずです。ラベル付けされた頂点を持つグラフの「同形」の私の定義は、2つのグラフに関連するラベル付けの順列があるということですが、ラベル付けされていないグラフの正確な定義はわかりません...
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