グラフ彩色問題のNP完全性

代替処方

私は以下の問題に対する別の定式化を思いつきました。代替の定式化は、実際には以下の問題の特殊なケースであり、2部グラフを使用して問題を説明します。しかし、私は代替処方はまだNP難しいと私は信じています。代替の定式化では、問題の定義を単純化する着信ノードと発信ノードの互いに素なセットを使用します。

与えられた送信および受信ノード（それぞれ、図中の赤色および青色のノード）、及びセット大きさのの発信と着信頂点間の辺の重みの。この問題の目標は、図の太いエッジに色を付けて、すべての入力ノードに対して条件が成立するようにすることです。 $n$ $n$ $w_{ij}$ $n \times n$

問題の二部グラフ

セットの出力頂点、セット $\{ O_i \; | \; i=1 \dots n \}$ 入力頂点の、の重みとの間の 'sおよびのための、正の定数を、色の最小数を見つけます。エッジに対する（上図中の太いエッジ）そのようなすべてのそれ、 $\{ I_i\; | \; i=1 \dots n \}$ $n \times n$ $w_{ij} \ge 0$ $O_i$ $I_j$ $i,j=1 \dots n$ $\beta$ $e_{ii}$ $j=1 \dots n$

$\frac{w_{j j}}{1 + \sum_{c (i) = c (j), i \neq j} w_{i j}} \geq β$ $\frac{w_{jj}}{1+\sum_{c(i)=c(j),i \neq j} w_{ij}} \ge \beta$
ここで、はエッジ色を示します。 $c(i)$ $e_{ii}$

古い処方

次の問題は私にはNP困難に見えますが、それを示すことができませんでした。硬さや使いやすさを示す証拠/コメントは高く評価されます。

仮定と完全加重有向グラフでありノードとエッジ。ましょうエッジの重みを示し及びを示してエッジの色。エッジのサブセット所与正の定数ようそれぞれについて、その色の最小番号を見つける：目標であります $K_n=\langle V,E \rangle$ $n$ $n(n-1)$ $w_{ij} \ge 0$ $ij$ $c(ij)$ $ij$ $T \subseteq E$ $\beta$ ： $e_{ij} \in T$

そして
$\frac{w_{i j}}{1 + \sum_{c (k l) = c (i j), k l \neq i j} w_{k j}} \geq β .$ $\frac{w_{ij}}{1+\sum_{c(kl)=c(ij),kl \neq ij} w_{kj}} \ge \beta.$ $c (i j) \neq c (i k) f o r j \neq k$ $c(ij) \neq c(ik) \quad for \quad j \neq k$

上記の問題では、のエッジのみに色を付ける必要があることに注意してください。これは、で解決できる問題。 $T$ $\mathcal{O}(|T|!)$

更新：

伊藤剛さんのコメントの後、問題を更新しました。分母は、以下から変更されたに $1+\sum_{c(kj)=c(ij),k \neq i,e_{kj} \in T} w_{kj}$ $1+\sum_{c(kl)=c(ij),kl \neq ij} w_{kj}$ 。したがって、分母には以外の重みも含まれます。だからこそ、私は完全なグラフを定義で述べた。 $T$

追加の制約も追加しました。つまり、ノードからの出力エッジは異なる色でなければなりません（ただし、不等式が成り立つ限り、入力色は同じにすることができます）。これにより、色の数に直観的な下限が設定されます。これは、のノードの最大の次数です。 $c(ij) \neq c(ik) \quad for \quad j \neq k$ $T$

$w_{ij}$ $T$ $\beta$

アップデート2：

$e_{ij}$ $e_{ji}$

— ヘリウム
ソース

@Raphael：通常、エッジのカラーリングの問題は削減の良い候補のようです。削減のための最も単純なnp-hard問題を見つけることは、最も難しい部分です。次のステップは、マッピングに適切な重みを見つけることです。エッジのカラーリングの問題が上記の問題に削減された場合、重みは0/1のようになるか、重みを見つけるために不等式のシステムを解く必要があります。

— ヘリウム2012年

問題の定式化に関するいくつかのコメント：（1）入力は何ですか？入力はすべてのエッジ、T、およびβのw_ijであると思いますが、そうである場合、w_ijとc（ij）を同じように与えられているかのように定義しないでください。（2）あなたが書いたものを理解しているように、Tの外側のエッジは参照されません。したがって、完全な有向グラフを考慮するよりも、Tのエッジで構成される有向グラフを定義する方が簡単です。

— 伊藤剛

@TsuyoshiIto：コメントをありがとう、質問を更新しました。

— ヘリウム

ちなみに、問題は私にはかなり厄介に見えます。この問題にどのように到達したか（つまり、この問題に関心がある理由）を説明すると、他の人が問題を理解するのに役立つ場合があります。

— 伊東剛

T

$T$

$n$ $n$ $n$ $i$ $w_{ii}=1$ $i \neq j$ $i$ $j$ $w_{ij}=w_{ji}=1$ $w_{ij}=w_{ji}=0$ $\beta=1$

$\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{C}$

$i$ $j$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $i$ $j$ $\frac{w_{jj}}{1+\sum_{c(i)=c(j),i \neq j} w_{ij}}$ $\frac{1}{1+X}$ $X$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ 色の数が少ない解を与えます。

— ヘリウム
ソース

$c(ij)=c(ji)$ $T$ $0$

$G=(V,E)$ $D=(V,A)$ $\forall uv\in E$ $(u,v)$ $(v,u)$ $A$ $a \in A$ $w_{a} = 1$ $\forall xy \notin E$ $(x,y)$ $(y,x)$ $A$ $w_{xy}=w_{yx}=0$ $\beta$ $1$ $T=A$

$0$

$k$ $NP$

$NP$

— ルーク・マチソン
ソース

c（ij）= c（ji）をどのように強制しますか？私が正しく理解していれば、これは問題の問題に必ずしも当てはまりません。

— 伊藤剛

いい視点ね。問題を記録するために元の投稿を編集します。

— ルークマシソン