隣接行列の固有値の背後にある直観

私は現在、チーガーバウンドとチーガーの不等式の使用、およびスペクトル分割、コンダクタンス、拡張などへのそれらの使用を理解するために取り組んでいますが、隣接行列の2番目の固有値に関する直感の開始にまだ苦労しています。
通常、グラフ理論では、私たちが遭遇するほとんどの概念は非常に単純で直感的ですが、この場合、どのようなグラフで2番目の固有値が非常に低いか非常に高いかを考え出すこともできません。
SEネットワークのあちこちで尋ねられた同様の質問を読んでいますが、それらは通常、さまざまなフィールドの固有値（多変量解析、ユークリッド距離行列、相関行列 ...）を参照しています。
しかし、スペクトル分割とグラフ理論については何もありません。

誰かがグラフと隣接行列の場合に、この2番目の固有値の直感/経験を試して共有できますか？

2番目の（大きさの）固有値は、グラフ上のランダムウォークの収束率を制御します。これは、Luca Trevisanの講義ノートなど、多くの講義ノートで説明されています。大まかに言えば、ステップ後の均一性までのL2距離はによって制限されます。$t$$\lambda_2^t$

2番目の固有値が現れるもう1つの場所は、植え付けられたクリーク問題です。開始点は、ランダムなグラフにサイズクリークが含まれているという観察ですが、貪欲アルゴリズムはサイズクリークしか検出せず、より効率的なアルゴリズムは知られていません。（貪欲なアルゴリズムは、ランダムなノードを選択し、すべての非隣接ノードを破棄して繰り返します。）$G(n,1/2)$$2\log_2 n$$\log_2 n$

これは、上に大きなクリークを植えることを示唆しています。問題は、クリークをどれだけ大きくすべきかであり、それによって効率的に見つけることができます。サイズクリークを植えると、次数だけでクリークの頂点を特定できます。ただし、この方法は、サイズがクリークに対してのみ機能し。これは、スペクトル技術を使用して改善できます。サイズがのクリークを植えると、Alon、Krivelevich、Sudakovが古典的な論文で示したように、2番目の固有ベクトルがクリークをエンコードします。$G(n,1/2)$$C\sqrt{n\log n}$$\Omega(\sqrt{n\log n})$$C\sqrt{n}$

より一般的には、最初のいくつかの固有ベクトルは、グラフを少数のクラスターに分割するのに役立ちます。たとえば、Luca Trevisanの講義ノートの第3章を参照してください。これには、高次のチーガー不等式が記述されています。

（免責事項：この回答は、一般的にグラフの固有値に関するものであり、特に2番目の固有値に関するものではありません。それでも参考になれば幸いです。）

グラフの固有値について考える興味深い方法は、ベクトル空間を取ることです。ここで、そして、各ベクトルを関数（すなわち、頂点ラベル）で識別します。隣接行列の固有ベクトルは、次に、要素であり、（つまり、固有値）があります。はの隣接行列です。は、すべての頂点を送信するマップに関連付けられたベクトルであることに注意してください$G = (V, E)$$\mathbb{R}^n$$n = |V|$$f\colon V \to \mathbb{R}$$f \in \mathbb{R}^n$$\lambda \in \mathbb{R}$$A f = \lambda f$$A$$G$$A f$$v \in V$$\sum_{u \in N(v)} f(u)$、は、近傍（すなわち、隣接する頂点）のセットで。したがって、この設定では、の固有ベクトルプロパティは、頂点の近傍の関数値（下）を合計すると、頂点の関数値に定数を乗算した場合と同じ結果が得られるプロパティに対応します。$N(v)$$u$$f$$f$$\lambda$

ほとんどの場合、隣接行列に密接に関連しているグラフ$G$ラプラシアンを見る方が生産性が高いと思います。ここでは、2番目の固有値をグラフの「ローカルvsグローバル」プロパティに関連付けるために使用できます。

簡単にするために、$G$が$d$正則であると仮定しましょう。次に、$G$の正規化ラプラシアンは$L= I - \frac1d A$、ここで$I$は$n\times n$単位、$A$は隣接行列です。ラプラスのいいところは、それは、機能としてのベクトルを書いている$f: V\to \mathbb{R}$@dkaeaeなどが挙げられるが、使用して$\langle \cdot, \cdot \rangle$通常の内積のために、我々はによって与えられた二次形式のため、この非常に素晴らしい表現持っ$L$：

$$\langle f, Lf\rangle = \frac{1}{d} \sum_{(u,v) \in E}{(f(u) - f(v))^2}.$$

最大の固有値$A$であり$d$、及び最小の固有値に対応する$L$であり、$0$。二番目に大きい固有値$\lambda_2$の$A$の第二の最小の固有値に対応する$L$である、$1 - \frac{\lambda_2}{d}$。最小-最大の原則は、我々は持っています

$$1 - \frac{\lambda_2}{d}=\min\left\{\frac{\langle f, Lf\rangle}{\langle f, f\rangle}:\sum_{v \in V}{f(v)} = 0, f \neq 0\right\}.$$

ことに注意してください$\langle f, Lf\rangle$我々がシフトしたときに変更されません$f$すべての頂点に同じ定数で。したがって、同等に、任意の$f:V \to \mathbb{R}$に対して、「中心」関数$f_0$をf 0（u ）= f （u ）− 1で定義できます。$f_0(u) = f(u) - \frac{1}{n}\sum_{v \in V}{f(v)}$、および書き込み

$$1 - \frac{\lambda_2}{d}=\min\left\{\frac{\langle f, Lf\rangle}{\langle f_0, f_0\rangle}: f \text{ not constant}\right\}.$$

今計算ショーのビットその$\langle f_0, f_0\rangle = \frac{1}{n}\sum_{\{u,v\}\in {V\choose 2}}{(f(u) - f(v))^2}$、そして上記で代入し、分子と分母をnで割る$\frac{n}{2}$、私たちは持っています

$$1 - \frac{\lambda_2}{d}=\min\left\{\frac{\frac{2}{nd} \sum_{(u,v) \in E}{(f(u) - f(v))^2}}{\frac{2}{n^2}\sum_{\{u,v\}\in {V\choose 2}}{(f(u) - f(v))^2}}: f \text{ not constant}\right\}.$$

$u$$G$$f(u)$$\frac{d}{d - \lambda_2}$$G$