有向グラフ診断がNP困難であることの証明

宿題をしていて、しばらく頭をぶつけてしまいました。ヒントがあれば教えてください。それは、既知の問題を選択し、そのNP完全性が証明され、その問題から次の問題への還元を構築することについてです。DGD（有向グラフ診断）と呼びます。

問題

DGD のインスタンスは、頂点V = Iで構成されます。∪ O 。∪ B、有向エッジE及び正の整数K。頂点には3つのタイプがあります。入力エッジのみを持つ頂点I、出力エッジのみを持つ頂点O、および入力エッジと出力エッジBの両方を持つ頂点です。さらにD = O × Iとします。$(V,E,k)$$V = I \overset{.}{\cup} O \overset{.}{\cup} B$$E$$k$$I$$O$$B$$D=O\times I$

さて、問題は、我々は最大で持つすべてのノードをカバーできるかどうかであるの要素D、すなわち$k$$D$

$\qquad \displaystyle \exists\,S\subseteq D, |S|\leq k.\ \forall\, v\in V.\ \exists\,(v_1,v_2) \in S.\ v_1 \to^* v \to^* v_2$

ここでは、aからbへの有向パスがあることを意味します。$a\to^* b$$a$$b$

支配集合の問題は、私が削減すべき問題だと思います。これも、ノードのサブセットを別のサブセットでカバーすることに関係しているためです。最初に支配セットの要素ごとに2つのノードを作成し、すべてのエッジをコピーして、DGDインスタンスのをDSインスタンスのkに等しく設定して、DGDインスタンスを作成しようとしました。$k$

ノードと単純DS-インスタンスを想定、2及び3とエッジ（1 、2 ）及び（1 、3 ）。これはk = 1のはいインスタンスです。この場合の支配セットはノード1のみで構成されています。今説明した方法で削減すると、これは2つのパス（1 → 2 → 1 ′）と（1 → 3 → 1 ′）を持つDGDインスタンスにつながります。$1$$2$$3$$(1,2)$$(1,3)$$k = 1$$1$$(1 \to 2 \to 1')$$(1 \to 3 \to 1')$; 、ただ一組のすべてのノードをカバーするために十分であろう。DSインスタンスの支配的なセットが、もちろん、多項式時間で決定できないという事実がなければ、これは完全に機能しました。これは、ここでの要件です。$(1, 1')$

削減時にエッジと頂点を変換する見栄えの良い方法がたくさんあることがわかりましたが、私の問題は、DSのkでDGDのどういうわけか表現することです。支配セットは削減するのにふさわしい問題のように見えましたが、そのため、おそらく私はそのようなkがない問題から削減しようとするべきだと思いますか？$k$$k$$k$

代わりに、NP完全なSET-COVERから削減してください。

$S_1,\dots,S_m \subseteq\{1,\dots,n\}$$k\in\mathbb{N}$$(V,E,k')$

• $V= \{s_1,\dots,s_m,o_1,\dots,o_m,e_1,\dots,e_n,o\}$
• $E= \{(s_i,o_i) \mid i = 1,\dots,n \} \cup \{(s_i,e_j)\mid j \in S_i\} \cup\{(e_j,o)\mid j=1,\dots,n\}$
• $k' = m + k$

$m$$(s_i,o_i)$$o_i$$k$$m$$(s_i,o)$$e_j$

$\leq_p$

$\{1,2,3,4,5\}$$S=\{\{1,2,3\},\{2,4\},\{3,4\},\{4,5\}\}$

^{[ ソース ]}