ポイント距離で重み付けされたエッジを持つグラフからポイント埋め込みを復元する

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重み付けされたエッジを持つ無向グラフを提供し、各ノードが3D空間内のポイントに対応していることを伝えたとします。2つのノード間にエッジがある場合は常に、エッジの重みがポイント間の距離になります。

目標は、使用可能な距離（エッジの重みで表される）のみを指定して、ポイントの相対位置を再構築することです。私はあなたが得られた場合、例えば、、あなたは点は四面体の頂点である知ります。原点との相対的な位置や方向、またはミラーリングされているかどうかはわかりませんが、四面体であることがわかります。 $d_{0,1} = d_{0,2} = d_{0,3} = d_{1,2} = d_{1,3} = d_{2,3} = 1$

一般に、すべてのエッジ長を指定すると問題は簡単です。ちょうど任意点ピックであることを、次に隣接点の選択、とでそれを置く、共通の隣接、上三角ますXY平面、最後の共通の近傍は、半空間三角形分割され $p_0$ $(0,0,0)$ $p_1$ $(d_{0,1},0,0)$ $p_2$ $p_3$ $z > 0$ 残りの対称性を壊します（縮退点を選択しなかった場合）。これら4つの点を使用して、残りのすべての点を三角形分割できます。

一方、一部のエッジ長が欠落している場合、埋め込みを復元できない可能性があります。たとえば、カット時にグラフを切断する頂点がある場合、削除すると分離する2つのコンポーネントは、互いに対して揺れ動く可能性があります。

これは問題を提起します：

解決策を見つけるのにどれくらいの費用がかかりますか？
ソリューションが一意であるかどうか、変換、ローテーション、ミラーリングまでをどのように判断しますか？3連結性で十分ですか？必要？
どんな種類の条件が問題を簡単にしますか？
エッジの重みが実際にポイント距離sin 3dに対応することを約束しない場合、埋め込みが可能かどうかを判断するのにどのくらい費用がかかりますか？

— クレイグ・ギドニー
ソース

私には機械学習の問題のように感じます...

— vzn '22

どの回答を選択すればよいかわかりません。それらはすべて重複しない方法で優れています。上位投票された1つです。

— Craig Gidney、2014

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この問題を解決するための1つのアルゴリズム的アプローチ：これを、ばねで接続されたノードのセットとして扱い、それらを整定/緩和させます。

各エッジはばねに対応します。点と間の距離をとすると、ばねは、理想的には長さになるように選択されます（長くても短くてもかまいませんが、これにはエネルギーがかかります）。次に、総エネルギーを最小化する一連のポジションを解決します。各頂点と仮定点に配置される。次に、この配置の総エネルギーは $(v,w)$ $v$ $w$ $d_{v,w}$ $d_{v,w}$ $v$ $x_v \in \mathbb{R}^3$

E (x) = \sum_{(v, w) \in E} (distance (x_{v}, x_{w}) - d_{v, w})^{2} .

$E(x) = \sum_{(v,w) \in E} (\text{distance}(x_v,x_w) - d_{v,w})^2.$

ここでは、が与えられ（それらはエッジの重みです）、について解きます（それらは点の座標です）。 $d_{v,w}$ $x_v$

この総エネルギーを最小化する配置を解くことができます。この配置は、ポイントの位置の合理的な候補になります。これは最適化問題であり、この種の最適化問題を解決するための標準的な手法があります。たとえば、Erica Klarreichによる記事Network Solutionsを参照してください。 $x$

これが正しい望ましいソリューションを提供するという保証はありません。最適化の問題が、探していたポイントの実際の配置を反映していない別の最適値に落ち着く可能性があります。ただし、グラフが十分に密集している場合は、それが頻繁に機能し、望ましい解決策が得られると思います。

脚注：もちろん、最良の場合でも、これらの変換はすべての距離を保持するため、この問題は並進、回転、反射までしか解決できません。したがって、固有のソリューションを期待することはできませんが、変換、回転、および反射までのソリューションが固有であることを望んでいるかもしれません。

最後に、多くの作業は、にグラフを埋め込むことにあります埋め込みの歪みを最小限に抑えながら、スペース。それは非常に関連しています。あなたは、基本的にゼロ歪みの埋め込みを求めている。したがって、そのコンテキストで開発された手法は、問題にも役立つ可能性があります。通常、この作業は低歪みの埋め込みを見つけることに重点を置いています。これは、すべての距離が正確に一致する完全な埋め込みがない場合に焦点を当てているため、代わりに低歪みのソリューション（ほとんどのエッジ距離がかなりよく一致します）-そのため、作業は少し異なる問題に焦点を当てています。ただし、それらのテクニックがあなたの状況でも有効である可能性があります。それは試みに値します。 $\ell_2$ $\ell_2$

— DW
ソース

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問題はNP-Completeです。ポイントの位置は適切な証明書であるため、NPであり、回路を「満足できるポイントのセットはありますか？」にエンコードできます。問題。

回路評価から距離埋め込みへの削減

座標系を作成し、論理ビットをその中に配置し、ビットを等しくなるように配線し、NOTおよびANDゲート用のウィジェットを作成することにより、回路の評価を距離埋め込み問題に削減します。

座標。ポイントを配置できる何らかの座標系が必要です。これを行うには、ポイントの「ベース」四面体を作成します。すべてが互いに距離であると宣言された4つのポイントを追加します。これにより、これらの4つの点の形状が四面体になります。四面体座標系を基準にして、ベースの4つのコーナーのそれぞれまでの距離を指定することで、他のポイントを配置できます。四面体は平行移動、回転、反射できますが、他のすべての点でも同じことが起こります。 $1$
ビット。少し作るために、ベースの四面体を基準にしてポイントの三角形を配置します。三角形の法線はZ軸に沿って上向きである必要があり、三角形はXY平面に平行になります（四面体座標で）。また、そのエッジの長さはなければなりません。それが終わったら、「値」ポイントを追加します。これは、他の3 つからの距離がになるように指定されています。私たちはしていない接続座標系をベースに。これは、それを2点の可能な位置を与える：中心 $1$ $v$ $1$ $v$ 四面体の最後のコーナーとして、三角形の上または下に。点が三角形の上にある場合、ビットはオンになり、下にある場合はオフになります。 $\frac{1}{\sqrt{3}}$
ワイヤ。値のポイント間の距離は三角形の中心間の距離に等しいと言うことで、2つのビットを強制的に等しくすることができます。1つの例外があります。一方のビットの上端または下端が、もう一方のビットの中心面と正確に一致している場合です。その場合、最初にワイヤーを使用してビットの1つを垂直に移動します。
ない。同じ三角形に2番目の値ポイントを追加することでビットの否定を得ることができますが、は距離でなければなりません。 $w$ $w$ から。これにより、三角形に対してが反対の位置になり、反対の値のビットが得られます。 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ $v$ $w$ $v$
IMPLIES。ワイヤーで回避しなければならない等距離の問題は、実際には非常に便利です。垂直線で強制できるビットがそのように並ぶ場合、高いビットは低いビットを意味します。高い方が正しい場合は、低い方の上部だけが適切な距離にあります。高い方が偽の場合、上部と下部の両方が適切な距離にあります。
そして。ビットを AND 等しくするためには、2つの意味と、と一致するときに等しいことを強制するウィジェットが必要です。含意はちょうど $C$ $A$ $B$ $A$ $B$ と $C \implies A$ 。ウィジェットを作成するには、と垂直に移動して、同じレベルと距離 $C \implies B$ $A$ $B$ 離れてから、を等距離に移動します。次に、距離とを距離追加します。 $\frac{2}{\sqrt 3}$ $C$ $S_A$ $S_B$ から及びそれぞれの値のポイントとの間の距離を強制及びであることが $\frac{\sqrt 2 - 1}{2 \sqrt 3}$ $A$ $B$ $S_A$ $S_B$ 。また、距離を距離に追加します $\frac{\sqrt 2 + 1}{\sqrt 3}$ $S_C$ と両方から。これにより、との値点の間にチェーンが作成され、チェーンの中心がになります。場合、鎖が限界まで引き伸ばされ、中心部にあるの三角形。場合チェーンリンクが、正反対の方向に行くことを余儀なくされているプッシュ限界にそれを配置し、上にの値点に等しい。を強制するには $\frac{\sqrt 2 + 1}{2 \sqrt 3}$ $S_A$ $S_B$ $A$ $B$ $S_C$ $A \neq B$ $S_C$ $C$ $A = B$ $S_C$ $C$ $A$ $C$ の値の点、距離を挿入します $S_D$ との両方の値の点から。これは制約しないときの値の点をが、力。 $\frac{1}{2 \sqrt 3}$ $S_C$ $C$ $C$ $A \neq B$ $A=B=C$ $A=B$

これらの要素を使用すると、任意の回路を距離埋め込みにエンコードできます。入力はビットになり、ゲートはNOTとANDに分解され、必要に応じて新しいビットが導入されます。出力の位置を強制的にtrueにすると、満足度の問題が発生します。

— クレイグ・ギドニー
ソース

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一意性に関する部分的な回答：3連結性では不十分です。

$Q_3$

ここに画像の説明を入力してください

$Q_3$

段ボール箱の角を興味のある頂点にします。段ボール箱の各コーナーは、ボックスの面を共有する他のコーナーからの距離が固定されています。

$Q_3$

— アピワットチャンタウィブル
ソース

ついていません。ただし、ポイントを互いに重ねることで、3連結性を効果的に1連結性に変えることができることに気付きました。したがって、生の3連結性では十分ではありません。

— Craig Gidney 14

@DW提案に従って引数を展開します。four points laying above or below the other fourミラーリングすることでお互いに変換できるので、私はあなたの議論を守りませんでした。

— Apiwat Chantawibul 2014

K_{4}

$K_4$

K_{4}

$K_4$

K_{4}

$K_4$

3

これは次の問題として知られており、たとえば、近くのノードまでの距離を測定できるセンサーネットワークから座標を再構築する場合に発生します。このペーパーは、主要なアルゴリズムとともにミニ調査として機能します。主要な方法は、もう1つの特異値しきい値である特異値射影として知られています。アルゴリズムは通常、行列代数とランク削減に基づいています。このペーパーは両方のアルゴリズムを実装し、いくつかの実証分析を提供します。

部分距離情報からのユークリッド距離再構成 Xu、Chen

— vzn
ソース