4
ポイント距離で重み付けされたエッジを持つグラフからポイント埋め込みを復元する
重み付けされたエッジを持つ無向グラフを提供し、各ノードが3D空間内のポイントに対応していることを伝えたとします。2つのノード間にエッジがある場合は常に、エッジの重みがポイント間の距離になります。 目標は、使用可能な距離（エッジの重みで表される）のみを指定して、ポイントの相対位置を再構築することです。私はあなたが得られた場合、例えば、、あなたは点は四面体の頂点である知ります。原点との相対的な位置や方向、またはミラーリングされているかどうかはわかりませんが、四面体であることがわかります。d0 、1= d0 、2= d0 、3= d1 、2= d1 、3= d2 、3= 1d0,1=d0,2=d0,3=d1,2=d1,3=d2,3=1d_{0,1} = d_{0,2} = d_{0,3} = d_{1,2} = d_{1,3} = d_{2,3} = 1 一般に、すべてのエッジ長を指定すると問題は簡単です。ちょうど任意点ピックであることを（0 、0 、0 ）、次に隣接点の選択、P 1とでそれを置く（D 0 、1、0 、0 ）、共通の隣接、P 2は上三角ますXY平面、最後の共通の近傍p 3は、半空間z > 0に三角形分割されます。p0p0p_0（0 、0 、0 ）(0,0,0)(0,0,0)p1p1p_1（d0 、1、0 、0 ）(d0,1,0,0)(d_{0,1},0,0)p2p2p_2p３p3p_3z> 0z>0z > 0残りの対称性を壊します（縮退点を選択しなかった場合）。これら4つの点を使用して、残りのすべての点を三角形分割できます。 一方、一部のエッジ長が欠落している場合、埋め込みを復元できない可能性があります。たとえば、カット時にグラフを切断する頂点がある場合、削除すると分離する2つのコンポーネントは、互いに対して揺れ動く可能性があります。 これは問題を提起します： …