同値関係は問題をカバーします（グラフ理論）

有限頂点セットの同値関係は、クリークの互いに素な結合である無向グラフで表すことができます。頂点セットは要素を表し、エッジは2つの要素が同等であることを表します。

私はグラフがある場合はやグラフ、我々はと言うで覆われているの辺の集合ならばの辺の和集合に等しく、。のエッジセットは互いに素である必要はありません。無向グラフ $G$ $G_1,\dots,G_k$ $G$ $G_1,\dots,G_k$ $G$ $G_1,\dots,G_k$ $G_1,\dots,G_k$ $G$ 有限数の同値関係（つまり、クリークグラフの素な結合）でカバーできます。

いくつか質問があります。

グラフをカバーするために必要な同値関係の最小数については何が言えますか？ $G$
この最小数をどのように計算できますか？
明示的な最小カバー、つまり、サイズが最小でをカバーする同値関係のセットをどのように計算できますか？ $G$ $G$
この問題には、パーティションロジック（サブセットのロジックのデュアル）以外のアプリケーションがありますか？
この問題には十分に確立された名前がありますか？

コメントに示されているさまざまな誤解を踏まえて、これらの概念を説明するための写真を次に示します。わかりやすい用語（「カバー」、「同値関係」、「クリークの非論理和」、「エッジセットの非論理結合」ではない）のアイデアがある場合は、遠慮なくお知らせください。

以下は、グラフとそれをカバーする1つの等価関係の図です。

以下は、グラフとグラフとそれをカバーする2つの等価関係
それをカバーする 2つの等価関係の図です。少なくとも2つの等価関係が必要であることは明らかです。

以下は、グラフとグラフとそれをカバーする3つの等価関係
それをカバーする 3つの等価関係の図です。少なくとも3つの等価関係が必要であることはそれほど明白ではありません。Dual of the Logic of Subsetsの Lemma 1.9を使用して、これが正しいことを示すことができます。この補題を2つ以上の入力を持つnand操作に一般化することが、この質問の動機でした。

algorithms graph-theory clique

— トーマスクリムペル
ソース

これはよく知られたNP完全問題です。en.wikipedia.org/wiki/Clique_cover_problem

— gardenhead

@StephenBly多分それはよく知られた問題ですが、あなたが与えたウィキペディアのリンクは本当に私を助けません。この記事では頂点カバーの問題について説明していますが、ここでの質問はエッジカバーの問題に関係しています。また、同値関係は派閥ではなく、派閥のまとまりのない結合であることに注意してください。

— Thomas Klimpel 2014年

等価関係とは、派閥の分離結合であるとはどういう意味ですか？頂点セットは要素を表し、エッジは2つの要素が同等であることを表します。それが使用している表現でない場合は、明確にする必要があります。

— gardenhead 2014年

n - 1

$n-1$

n

$n$

n - 1

$n-1$

@YuvalFilmusこの質問では、ユニオンが特定のグラフを単に含むのではなく、ユニオンが特定のグラフのエッジ関係である同値関係の最小数について尋ねます。

— David Richerby 14年

回答:

$\text{eq}(G)$ $\text{cc}(G)$

どちらかの数値の正確な値または適切な上限がわかっている特別なグラフクラスがあります。一般的に、私の知る限りでは、最良の境界はAlon [1]によって与えられます。

\log_{2} n - \log_{2} d \leq eq (G) \leq cc (G) \leq 2 e^{2} (Δ + 1)^{2} \ln n,

$\log_2 n - \log_2 d \leq \text{eq}(G) \leq \text{cc}(G) \leq 2e^2 (\Delta+1)^2 \ln n,$

$\Delta$ $G$ $\lceil n^2/4 \rceil$

$\sf NP$ $\text{eq}(G)$ $\sf NP$

[1] アロン、ノガ。「同値関係の最小数によるグラフのカバー。」Combinatorica 6.3（1986）：201-206。

[2] Blokhuis、Aart、およびTon Kloks。「スプリットグラフの数をカバーする等価性について。」情報処理レター54.5（1995）：301-304。

[3] クシェラ、ルドゥク、ヤロスラフネシェティル、アレシュプルト。「次元3の複雑さと、グラフの関連するエッジカバー特性。」Theoretical Computer Science 11.1（1980）：93-106。

— 十保
ソース

[1]からのコロラリ1.3は、まさに私が必要としたものです（パスの補集合に適用されるバージョンで）。今、私はパーティションの一般的な含意についての論文を書かないための言い訳はもうありません "（A、B、C、...）は（Z、Y、X、...）を意味します"（sequent微積分からのsequent）パーティションロジックと同様の非古典的なロジック。しかし、少なくとももう半年は書いていないと思います。そして多分私はその間に新しい言い訳を見つけることさえします。

— Thomas Klimpel、2015年

@ThomasKlimpelいいね！（あなたが新しい言い訳を見つけるかもしれないという事実ではありませんが、これは役に立ちました:

— Juho

そのような問題の名前はわかりませんが、この問題がNP困難であることを示すことができます。

三角形のないグラフの場合、等価クラスはすべて一致している必要があります。グラフをカバーする同値類の最小数は、グラフの色インデックスに等しい。

この記事によれば、三角形のないグラフの色インデックスを見つけることはNP完全です。

— チャオ・スー
ソース