二分木の平均高さはどれくらいですか？

二分木の平均高さについて正式な定義はありますか？

次の2つの方法を使用してバイナリツリーの平均の高さを見つけることに関するチュートリアルの質問があります。

1. 自然な解決策は、ルートからリーフへのすべての可能なパスの平均の長さを取ることです。

   。$\qquad \displaystyle \operatorname{avh}_1(T) = \frac{1}{\text{# leaves in } T} \cdot \sum_{v \text{ leaf of } T} \operatorname{depth}(v)$

2. 別のオプションは、再帰的に定義することです。つまり、ノードの平均の高さは、サブツリーの平均の高さの平均に1を加えたものです。つまり、

   $\qquad \displaystyle \operatorname{avh}_2(N(l,r)) = \frac{\operatorname{avh}_2(l) + \operatorname{avh}_2(r)}{2} + 1$

   リーフのためのL及びAVH 2（_ ）= 0空きスロット用。$\operatorname{avh}_2(l) = 1$$l$$\operatorname{avh}_2(\_) = 0$

私の現在の理解に基づいて、たとえば木の平均高さ$T$

    1    
   / \
  2   3
 /
4

ある再帰を使用している第二の方法で。$\operatorname{avh}_2(T) = 1.25$

しかし、私はまだ最初の1つを行う方法を完全に理解していません。は正しくありません。$\operatorname{avh}_1(T) = (1+2)/2=1.5$

両方の定義が同じ尺度を説明していると信じる理由はありません。あなたは再帰的に書くこともできます：$\operatorname{avh}_1$

$\qquad \displaystyle \operatorname{avh}_1(N(l,r)) = \frac{\operatorname{lv}(l)(\operatorname{avh_1}(l) + 1) + \operatorname{lv}(r)(\operatorname{avh_1}(r) + 1)}{\operatorname{lv}(l) + \operatorname{lv}(r)}$

$\operatorname{avh}_1(l) = 0$$l$$\operatorname{avh}_1$

$\operatorname{avh}_1$$\operatorname{avh}_2$$\operatorname{avh}_2$$\operatorname{avh}_1$$\operatorname{avh}_1$$\operatorname{lv}(l) = \operatorname{lv}(r)$これはすぐにわかります。ただし、不均衡な木の場合は異なります。

あなたの計算は確かに正しい（あなたの定義を与えられた）。サンプルツリーは葉のバランスが取れていないことに注意してください。

編集：ジェフは上記のコメントで良い指摘をしています。次の回答の「正しいvs正しくない」を「便利/一貫性vs一貫性のない」と読む必要があります。

2番目の計算が正しくないようです。単一のノード（つまり、葉）を持つサブツリーの高さを0とします。次に、サブツリールートの高さを次のようにします。

• 4の高さは0
• 3の高さは0
• 2の高さは3 + 1 = 0 + 1 = 1の平均の高さ
• 1の高さは2と3の高さの平均=（0 + 1）/ 2 + 1 = 1.5

最初の計算は正しく行っていると思います。1.5が正解です。