ベータ母集団のサンプル範囲の分布を見つける
レッツ密度を有するランダム変数をIIDしますX1,X2,…,XnX1,X2,…,XnX_1,X_2,\ldots,X_n f(x)=2(1−x)10<x<1f(x)=2(1−x)10<x<1f(x)=2(1-x)\mathbf1_{0<x<1} サンプル範囲の分布を導き出そうとしています。R=X(n)−X(1)R=X(n)−X(1)R=X_{(n)}-X_{(1)} 私がこれらの問題を行う通常の方法は、最初にを取るの結合密度を見つけ、次に限界密度としての分布を見つけることです。の共同分布を知っているので、これは一般に非常に簡単です。ただし、この特定の問題では、マージナルPDFを見つけるための統合は、手作業で評価するのがかなり面倒です。(R,S)(R,S)(R,S)S=X(1)S=X(1)S=X_{(1)}RRR(X(1),X(n))(X(1),X(n))(X_{(1)},X_{(n)}) 絶対連続分布の場合、変数の変化を介して、結合密度が次の式で与えられることが簡単に示されます。(R,S)(R,S)(R,S) fR,S(r,s)=n(n−1)(F(r+s)−F(s))n−2f(s)f(r+s)1s<r+sfR,S(r,s)=n(n−1)(F(r+s)−F(s))n−2f(s)f(r+s)1s<r+sf_{R,S}(r,s)=n(n-1)(F(r+s)-F(s))^{n-2}f(s)f(r+s)\mathbf1_{s<r+s} ここで、は人口分布関数です。FFF だからここに私は単純化した後 fR,S(r,s)=4n(n−1)(r(2−2s−r))n−2(1−s)(1−r−s)10<s<r+s<1fR,S(r,s)=4n(n−1)(r(2−2s−r))n−2(1−s)(1−r−s)10<s<r+s<1f_{R,S}(r,s)=4n(n-1)(r(2-2s-r))^{n-2}(1-s)(1-r-s)\mathbf1_{0<s<r+s<1} 手段のPDFその用あるべきですRRR0<r<10<r<10<r<1 fR(r)=∫1−r0fR,S(r,s)ds=4n(n−1)rn−2∫1−r0(2−2s−r)n−2(1−s)(1−r−s)dsfR(r)=∫01−rfR,S(r,s)ds=4n(n−1)rn−2∫01−r(2−2s−r)n−2(1−s)(1−r−s)ds\begin{align} f_R(r)&=\int_0^{1-r}f_{R,S}(r,s)\,ds \\&=4n(n-1)r^{n-2}\int_0^{1-r}(2-2s-r)^{n-2}(1-s)(1-r-s)\,ds \end{align} 今度は、部品統合しますI=∫1−r0(2−2s−r)n−2(1−s)(1−r−s)dsI=∫01−r(2−2s−r)n−2(1−s)(1−r−s)dsI=\int_0^{1-r}(2-2s-r)^{n-2}(1-s)(1-r-s)\,ds その指摘 d[(1−s)(1−r−s)]=(2s+r−2)dsd[(1−s)(1−r−s)]=(2s+r−2)dsd\,[(1-s)(1-r-s)]=(2s+r-2)\,ds 詳細をスキップして、 I=[(1−s)(1−r−s)(2−2s−r)n−12(1−n)]1−r0+∫1−r0(2−2s−r)n2(1−n)ds=(r−1)(2−r)n−12(1−n)−14(1−n)∫r2−rtndt=(r−1)(2−r)n−12(1−n)+14(n2−1)[rn+1−(2−r)n+1]I=[(1−s)(1−r−s)(2−2s−r)n−12(1−n)]01−r+∫01−r(2−2s−r)n2(1−n)ds=(r−1)(2−r)n−12(1−n)−14(1−n)∫2−rrtndt=(r−1)(2−r)n−12(1−n)+14(n2−1)[rn+1−(2−r)n+1]\begin{align} I&=\left[(1-s)(1-r-s)\frac{(2-2s-r)^{n-1}}{2(1-n)}\right]_0^{1-r}+\int_0^{1-r}\frac{(2-2s-r)^n}{2(1-n)}\,ds \\\\&=\frac{(r-1)(2-r)^{n-1}}{2(1-n)}-\frac{1}{4(1-n)}\int_{2-r}^{r}t^n\,dt \\\\&=\frac{(r-1)(2-r)^{n-1}}{2(1-n)}+\frac{1}{4(n^2-1)}\left[r^{n+1}-(2-r)^{n+1}\right] \end{align} それはそうではないかもしれませんが、これを手作業で行い、すべてのステップを書き留めるには、かなりの時間がかかりました。 最後に、私はのPDFファイルを取得などをRRR fR(r)=4n(n−1)rn−2[(r−1)(2−r)n−12(1−n)+14(n2−1){rn+1−(2−r)n+1}]10<r<1fR(r)=4n(n−1)rn−2[(r−1)(2−r)n−12(1−n)+14(n2−1){rn+1−(2−r)n+1}]10<r<1f_R(r)=4n(n-1)r^{n-2}\left[\frac{(r-1)(2-r)^{n-1}}{2(1-n)}+\frac{1}{4(n^2-1)}\left\{r^{n+1}-(2-r)^{n+1}\right\}\right]\mathbf1_{0<r<1} 正直なところ、面倒な計算の後で、これが統合されているかどうかを確認する必要があるかどうかはわかりません（ソフトウェアを使用せずに）。したがって、この答えが意味を成すかどうかはわかりません。111 問題を解決するための代替手順、およびおそらくより効率的な方法について知りたいのですが。CDFメソッドでもほぼ同じ複雑さになると思います。