の分布

いう、 $X \in \mathbb{R}^n$ （と $n > 1$ ）密度があります $f_X(x)$ 。の分布について何が言えるか

Y = - \log f_{X} (X) ?

$Y = -\log f_X(X)?$

— テイラー
ソース

まあそれは何に依存するだろう

f

$f$ され、それはないですか？

— jbowman

1. mgf（またはより一般的にはcf）を検討することから始めて、そこから何が言えるかを理解するのは興味深いかもしれません。あるいは、漸近的な振る舞いに関心がある場合（特に、独立性を扱う場合）、次の漸近性について知られていることを検討することをお勧めします。

- 2 \log L

$-2\log \mathcal{L}$ ... 2.これは演習用ですか？

— Glen_b-モニカを

Troutt et al。によるこれに捧げられた本全体があります。（1991）。

— 西安

西安が書いた本は2004年のものです。1991年の記事で、次の定理が出ています。

From：Troutt MD 1991密度縦座標の密度に関する定理とBox-Muller法の別の解釈

確率変数Xに密度がある場合 $f(x)$ 、 $x \in \mathbb{R}^n$ 、そして確率変数が $v = f(x)$ 密度があります $g(v)$ 、その後
$g (v) = - v A^{'} (v),$ $g(v) = -vA^\prime(v),$ どこ $A(v)$ セットのルベーグ測度です $S (v) = {x : f (x) \geq v}$ $S(v) = \lbrace x: f(x) \geq v \rbrace$

直感的で非公式：

\begin{matrix} f_{Z} (z) d z = P (z < Z < z + d z) & = P (x (z) < X < x (z + d z)) \\ = P (x (z) < X < x (z) + d z \frac{d x}{d z}) \\ = f_{X} (X) \frac{d x}{d z} d z = z \frac{- d A (z)}{d z} d z \end{matrix}

$\begin{array}\\ f_Z(z) dz = P(z<Z<z+dz) &= P(x(z)<X<x(z+dz)) \\ &= P(x(z)<X<x(z)+dz \frac{dx}{dz}) \\ &= f_X(X) \frac{dx}{dz} dz = z \frac{-dA(z)}{dz} dz \end{array}$

同様に、変換された変数を使用する場合 $Y = g(f_x(x))$ 次に：

\begin{matrix} f_{Y} (y) d y = P (y < Y < y + d y) & = P (x (y) < X < x (y + d y)) \\ = P (x (y) < X < x (y) + d y \frac{d x}{d y}) \\ = f_{X} (X) \frac{d x}{d y} d y = g^{- 1} (y) \frac{- d A (y)}{d y} d y \end{matrix}

$\begin{array}\\ f_Y(y) dy = P(y<Y<y+dy) &= P(x(y)<X<x(y+dy)) \\ &= P(x(y)<X<x(y)+dy \frac{dx}{dy}) \\ &= f_X(X) \frac{dx}{dy} dy = g^{-1}(y) \frac{-dA(y)}{dy} dy \end{array}$

そう

f_{Y} (y) = - e^{- y} \frac{A (y)}{d y}

$f_Y(y) = -e^{-y} \frac{A(y)}{dy}$

標準正規分布の例：

f_{X} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- 0.5 x^{2}}

$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-0.5 x^2}$

y = \log (\sqrt{2 π}) + 0.5 x^{2}

$y = \log(\sqrt{2\pi}) + 0.5 x^2$

A (y) = C - \sqrt{8 (y - \log (\sqrt{2 π}))}

$A(y) = C-\sqrt{8(y-\log(\sqrt{2\pi}))}$

したがって

f_{Y} (y) = \frac{\sqrt{2} e^{- y}}{\sqrt{y - \frac{\log (2 π)}{2}}}

$f_Y(y) = \frac{\sqrt{2} e^{-y}}{\sqrt{y-\frac{\log(2\pi)}{2}}}$

多変量正規分布の例：

f_{X} (x_{1}, x_{2}) = \frac{1}{2 π} e^{- 0.5 (x_{1}^{2} + x_{2}^{2})}

$f_X(x_1,x_2) = \frac{1}{2\pi} e^{-0.5 (x_1^2 + x_2^2)}$

y = \log (2 π) + 0.5 (x_{1}^{2} + x_{2}^{2})

$y = \log(2\pi) + 0.5 (x_1^2+x_2^2)$

A (y) = C - 2 π (y - \log (2 π))

$A(y) = C-2\pi(y-\log(2\pi))$

したがって

f_{Y} (y) = 2 π e^{- y} for y \geq l o g (2 π)

$f_Y(y) = 2\pi e^{-y} \qquad \qquad \text{for $y \geq log(2\pi)$}$

計算チェック：

# random draws/simulation
x_1 = rnorm(100000,0,1)
x_2 = rnorm(100000,0,1)
y = -log(dnorm(x_1,0,1)*dnorm(x_2,0,1))

# display simulation along with theoretic curve
hist(y,breaks=c(0,log(2*pi)+c(0:(max(y+1)*5))/5),
     main = "computational check for distribution f_Y")
y_t <- seq(1,10,0.01)
lines(y_t,2*pi*exp(-y_t),col=2)

— Sextus Empiricus
ソース

この視点の難しさは、変換

f_{X} (X)

$f_X(X)$ に依存する

X

$X$ 、とは対照的に

F_{X} (X)

$F_X(X)$ （次元1）。

— 西安