均一に分散された高次元のボールのほとんどのポイントはどこにありますか？

それらは中央（原点）の近くにあるべきですか、それともその表面を閉じるべきですか？

@ Xi'anが指摘したように、OPの質問は実際には $n$半径の3 次元ボール$r$、以下の距離にあるポイントのセット $r$ ボールの中心からであり、均一な分布ではありません $n$ボールの表面である3 次元の超球（正確な距離にある点のセット） $r$中心から）。の結合密度が$n$ 確率変数は定数値を持っています $V^{-1}$ どこ $V$ボールの体積です。これは、ランダムな点の距離が均一に分布していると仮定することと同じではありません$[0,r]$ （または $[0,r)$ 超球の表面を含めたくない人のために）。

のほぼ全体のボリューム $n$次元のボールは表面の近くにあります。それの訳は$V$ に比例します $n$-ボールの半径のべき乗 $r^n$非常に急速に増加する関数です。でも$3$-スペース、 $\frac 78 = 1 - \left(\frac 12\right)^3$ボリュームのthは原点よりもサーフェスに近く、この割合はますます近くなります $1$ なので $n$増加します。固定比率の場合、計算の向きを変える$\alpha$、 いう $\alpha=0.95$、 $100\alpha\%$ボリュームの内半径のシェルにあります$\sqrt[n]{\alpha}r$ と外径 $r$ など $1-\sqrt[n]{\alpha}$、シェルの相対的な厚さ、に向かって減少します$0$ 増加とともに $n$ の選択のために $\alpha \in (0,1)$。