iidサンプルの2つの最小実現の比率が1になるような正のサポートを持つ確率変数はありますか？

固定変数に対して、suppおよび確率変数を指定したと想像してください$X$$(X)=(0,\infty)$$\mathbb P(X \in (0,a))>0$$a>0$

iidのサンプル与えられた場合-$X_1,...,X_n$

$$X^{(2)}/X^{(1)}\xrightarrow{\mathbb P}1$$ for、ここでは番目の最小要素を表しますか？$n \to \infty$$X^{(i)}$$i$

はい、サンプルサイズが大きくなるにつれて、2番目に小さい値と最小値の比率が確率で1に近づくような分布があります。それらは、原点で確率がゼロに非常に速く近づくという意味で、厳密に肯定的なサポートを持つ分布のように「本質的に」振る舞う必要があります。下の最初の図を参照してください。

（私はここで正しい直観に依存していますが、分布が厳密に正の最小値を持っている場合、最終的に大きなサンプルの2つの最小値は両方ともその最小値に高い確率で近づき、その比率は1に近づきます。この直観は、最小値はゼロです。）

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便宜上、独立した同一に分布したランダム変数を連続分布で処理してみましょう。これは、それらが共通の密度持ち、が共通の分布関数であることを意味します。$X_i$$f$$F(x)=F(0)+\int_0^x f(t)\mathrm{d}t$

問題は、これらの変数の最初ののうち最小の2つ、、は任意に大きくなります。それらの間の2つの最小値の結合分布には密度があります$n$$X\lt Y,$$n$

$$f_{n;2}(x,y) = n(n-1)f(x)f(y)\left(1-F(y)\right)^{n-2}$$

すべてのによって定義される 変数紹介$0\le x\le y.$$u$

$$x = uy$$

比表すためにから変数を変更にから積分と（の用語で表現することができる）、およびすべてにわたって積分します可能な値 私達比の分布関数を与えるとしての$x/y\le 1,$$(x,y)$$(u,y),$$u=0$$u=r$$F$$y$$U=X/Y$

$$\Pr(U \le r) = n(n-1)\int_0^\infty f(y)F(ry)(1-F(y))^{n-2}\,\mathrm{d}y$$ 以下のための$0 \le r \le 1.$

この表現が分析の対象になります。

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場合によっては、の分布を簡単に評価でき$U$ます。この次のセクションは転用ですが、それは答えにつながる思考プロセスを明らかにします。

たとえば、 for where としますによってまったく変化しない答えが得られます。可能な比率の場合

$$F_p(y) = y^p$$ $0\le y\le 1$$p\gt 0.$$n$$0\le r \le 1,$

$$\Pr(U \le r) = r^p.\tag{1}$$

これは、原点の近くでように動作するすべての分布が、比率に対してこのパワー分布のようなものを生成することを示しています。特に、確率でに収束しません。$F$$F(y)\approx y^p$$1$

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大きくなる、一定の値に収束しない確率です。つまり、比率がに近づく分布は発見されていませんが、適切なメンバーを選択することで、この比率を近づけることができる分布ファミリーがあります（つまり、 、パワーが十分に大きくなるように選択します）。したがって、原点でが他の多項式より平坦である分布を検討する場合があります。古典的な、そして最も単純なそのような関数の1つは$p$$(1)$$1$$U$$1$$1$$p$$F$

$$F(x) = \exp\left(1 - \frac{1}{x^2}\right)$$

以下のための$0 \le x \le 1.$

指数関数がゼロになることはないため、明らかにそのサポートはまで拡張されます。 は無限微分可能ですが、すべての導関数はゼロです。$0,$$F$$0$

この場合、の積分は引き続き評価できます。結果を表現する方が簡単ですここで、ようになります。$\Pr(U\le r)$$s \ge 1,$

$$1/s^2 = r,$$

$$\Pr(U \le r) = \Pr(U \le 1/s^2) = \frac{e^{1-s}n!}{(1+s)^{(n-1)}}= s\,e^{1-s}\frac{1^{(n)}}{s^{(n)}}\tag{2}$$

どこ

$$s^{(n)} = s(1+s)(2+s)\cdots(n-1+s)$$

ポチャハンマー関数です。以下は、およびのこの確率のプロット（関数として）ですが増加 すると、グラフはレベル0に向かって低下します。$s$$n=2, 2^2, 2^{2^2}, 2^{2^3},$$2^{2^4}.$$n$

すべての$z = s-1 \gt 0,$

$$\frac{1^{(n)}}{s^{(n)}} = \frac{1^{(n)}}{(1+z)^{(n)}} = \frac{1}{1+z}\frac{2}{2+z}\frac{3}{3+z}\cdots\frac{n}{n+z} \to 0$$

大きくなります。（その対数のMacLaurinシリーズを調べます。）したがって、すべては、比率が定数に近づく確率を示します。$n$$s=1+z \gt 1,$ $(2)$$0,$$U$$1$