ベータ母集団のサンプル範囲の分布を見つける

レッツ密度を有するランダム変数をIIDします$X_1,X_2,\ldots,X_n$

$$f(x)=2(1-x)\mathbf1_{0<x<1}$$

サンプル範囲の分布を導き出そうとしています。$R=X_{(n)}-X_{(1)}$

私がこれらの問題を行う通常の方法は、最初にを取るの結合密度を見つけ、次に限界密度としての分布を見つけることです。の共同分布を知っているので、これは一般に非常に簡単です。ただし、この特定の問題では、マージナルPDFを見つけるための統合は、手作業で評価するのがかなり面倒です。$(R,S)$$S=X_{(1)}$$R$$(X_{(1)},X_{(n)})$

絶対連続分布の場合、変数の変化を介して、結合密度が次の式で与えられることが簡単に示されます。$(R,S)$

$$f_{R,S}(r,s)=n(n-1)(F(r+s)-F(s))^{n-2}f(s)f(r+s)\mathbf1_{s<r+s}$$

ここで、は人口分布関数です。$F$

だからここに私は単純化した後

$$f_{R,S}(r,s)=4n(n-1)(r(2-2s-r))^{n-2}(1-s)(1-r-s)\mathbf1_{0<s<r+s<1}$$

手段のPDFその用あるべきです$R$$0<r<1$

$$\begin{align} f_R(r)&=\int_0^{1-r}f_{R,S}(r,s)\,ds \\&=4n(n-1)r^{n-2}\int_0^{1-r}(2-2s-r)^{n-2}(1-s)(1-r-s)\,ds \end{align}$$

今度は、部品統合します

$$I=\int_0^{1-r}(2-2s-r)^{n-2}(1-s)(1-r-s)\,ds$$

その指摘

$$d\,[(1-s)(1-r-s)]=(2s+r-2)\,ds$$

詳細をスキップして、

$$\begin{align} I&=\left[(1-s)(1-r-s)\frac{(2-2s-r)^{n-1}}{2(1-n)}\right]_0^{1-r}+\int_0^{1-r}\frac{(2-2s-r)^n}{2(1-n)}\,ds \\\\&=\frac{(r-1)(2-r)^{n-1}}{2(1-n)}-\frac{1}{4(1-n)}\int_{2-r}^{r}t^n\,dt \\\\&=\frac{(r-1)(2-r)^{n-1}}{2(1-n)}+\frac{1}{4(n^2-1)}\left[r^{n+1}-(2-r)^{n+1}\right] \end{align}$$

それはそうではないかもしれませんが、これを手作業で行い、すべてのステップを書き留めるには、かなりの時間がかかりました。

最後に、私はのPDFファイルを取得などを$R$

$$f_R(r)=4n(n-1)r^{n-2}\left[\frac{(r-1)(2-r)^{n-1}}{2(1-n)}+\frac{1}{4(n^2-1)}\left\{r^{n+1}-(2-r)^{n+1}\right\}\right]\mathbf1_{0<r<1}$$

正直なところ、面倒な計算の後で、これが統合されているかどうかを確認する必要があるかどうかはわかりません（ソフトウェアを使用せずに）。したがって、この答えが意味を成すかどうかはわかりません。$1$

問題を解決するための代替手順、およびおそらくより効率的な方法について知りたいのですが。CDFメソッドでもほぼ同じ複雑さになると思います。

編集：このコメントへの投票は中止してください。コメントであり、OPによる回答として受け入れられるべきではありませんでした。このテクニックに慣れていない場合は、コメントと文献を読んでください。その順序付けられた統計の均一分布とベータ分布の間の関係は教えられていない/よく理解されていないようです。

範囲がベータ密度の形式として分布していることに気付いたと思いますか？ベータ版を使用したくない場合は、ユニフォームに変換してください。私のアドバイスはそれを統合するのではなく、これがどのような形に似ているかを考えてください。不完全なベータ関数が含まれていても、分布を見つけるのに本当に必要ではない場合、閉じた形ではない可能性があります。