ベータ二項分布の限界は二項式です

ベータ二項分布と二項分布の関係を理解し​​ようとしています。より具体的には、私はベータ二項分布の限界を、$p=a/(a+b)$ 二項式である $a+b$無限に行きます。表示に問題があります。役立つヒントがあれば非常に役立ちます。

このため、私はの限界を取るべきだと思います $\text{beta}(a,b)$ として機能する $a+b$無限に行きます。これは存在しますか？以下の回答によると、これは存在しません。また、MGFは厄介なため、使用をためらっています。

これを確認するには、少なくとも2つの方法があります。

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分布の壷解釈があることを示すことができます

ベータ二項分布は、以下の正の整数値のurnモデルを介して動機づけることもできます。 $\alpha$ そして $\beta$、Polya urnモデルとして知られています。具体的には、つぼが$\alpha$ 赤いボールと $\beta$ランダムなドローが行われる黒いボール。赤いボールが観察された場合、2つの赤いボールが骨壷に戻されます。同様に、黒いボールが描かれた場合、2つの黒いボールが骨壷に戻されます。これが繰り返される場合$n$ 回、k個の赤いボールを観測する確率は、パラメーター付きのベータ二項分布に従います $n$、$\alpha$ そして $\beta$。

ただし、 $n$urn内のボールの数と比較すると無視できます。urnに数個のボールを追加すると、次のドローの差は無視できます。したがって、分布は単純に二項式である置換を伴う描画の分布です。

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代数的観点から、分布は

$${n \choose k} \frac{B(k + \alpha, n - k + \beta)}{B(\alpha, \beta)} .$$

よるベータ関数の性質

$$B(x + 1, y) = B(x, y) \frac{x}{x + y}, \\ B(x, y + 1) = B(x, y) \frac{y}{x + y}$$

具体的には

$$B(i + \alpha, n - k + \beta) = B(i - 1 + \alpha, n - k + \beta) \frac{i - 1 + \alpha}{i - 1 + n - k + \alpha + \beta},$$

そして、大規模な場合、のテイラー級数を考慮に入れます。$\alpha, \beta$$\frac{1}{1 + x}$

$$\frac{i - 1 + \alpha}{i - 1 + n - k + \alpha + \beta} = \frac{i - 1 + \alpha}{\alpha} \frac{\alpha}{(\alpha + \beta) \left(1 + \frac{i - 1 + n - k}{\alpha + \beta}\right)} \sim \frac{i - 1 + \alpha}{\alpha} \frac{\alpha}{(\alpha + \beta)} \left(1 - \frac{i - 1 + n - k}{\alpha + \beta}\right) \sim \frac{\alpha}{(\alpha + \beta)} .$$

これを続けて、

$$\frac{B(k + \alpha, n - k + \beta)}{B(\alpha, \beta)} \sim \frac{B(\alpha, \beta)}{B(\alpha, \beta)} \left( \frac{\alpha}{\alpha + \beta}\right)^k \left( \frac{\beta}{\alpha + \beta} \right)^{n - k} ,$$ および分布はほぼ二項です。