被加数がランダムな独立指数の和の分布

してみましょう独立同一のパラメータを持つ指数関数分布することが。次に、指定された、これらの値の合計は、確率密度関数を使用したアーラン分布に従います $\tau_i\sim\exp\left(\lambda\right)$ $\lambda$ $n$

T_{n} := \sum_{i = 0}^{n} τ_{i}

$T_n := \sum_{i=0}^n \tau_i$

π (T_{n} = T | n, λ) = \frac{λ^{n} T^{n - 1} e^{- λ T}}{(n - 1)!} for T, λ \geq 0.

$\pi(T_n=T| n,\lambda)={\lambda^n T^{n-1} e^{-\lambda T} \over (n-1)!}\quad\mbox{for }T, \lambda \geq 0.$

私は分布に興味があります。ここで、は確率変数で、指数分布する場合、 $T_\tilde n$ $\tilde n$ $\tau_a \sim \exp(\lambda_a)$

T_{\tilde{n}} \leq τ_{a} T_{\tilde{n} + 1} > τ_{a} .

$T_\tilde n \leq \tau_a \\T_{\tilde{n}+1} > \tau_a.$

つまり、は指数分布で切り捨てられます。分布の導出に失敗しましたが、おそらくもっと簡単な方法があります： $T_{\tilde n}$ $\tilde n$

π (\tilde{n} = k) = π (T_{n} < τ_{a} | n = k) = 1 - \int_{R^{+}} \sum_{n = 0}^{k - 1} \frac{1}{n!} \exp (- (λ + λ_{a}) τ_{a}) (τ λ_{a})^{n} λ_{a} d τ_{a} .

$\pi\left(\tilde n = k\right) = \pi\left(T_n < \tau_a|n=k\right)\\ =1-\int\limits_{\mathbb{R}^+}\sum\limits_{n=0}^{k-1}\frac{1}{n!}\exp\left(-(\lambda+\lambda_a)\tau_a\right)(\tau\lambda_a)^n\lambda_ad\tau_a.$

しかし、この密度はそれほど醜くはないように、サンプリングして目を見張るだけで私には見えます。

iter <- 20000

lambda_a <- 1
lambda <- 2

df <- data.frame(tau=rep(NA, iter), a=rep(NA, iter))

for(i in 1:iter){
    set.seed(i)
    a <- rexp(1, rate = lambda_a)
    s <- cumsum(rexp(500, rate = lambda))

    df[i,] <- c(max(s[1], s[s<a]), a)
}

library(tidyverse)

ggplot(df %>% gather(), aes(x = value, fill = key)) +
geom_density(alpha = .3) + theme_bw()

distributions exponential-family truncation

— マフィン1974
ソース

と合計両方に同じ表記を使用しないことをお勧めします。

τ_{i}

$\tau_i$

τ_{n}

$\tau_n$

— ブラゾフエルテ

Erlangのより標準的な名前は、ガンマ分布です。

— 西安

このX検証済みの回答で詳述されているように、iid 指数変量の合計が1を超えるのを待つと、ポアソン変量ます。よっての和を待っIID指数超え変量ポアソン生成変量上の条件を、によって和を割るため（乗算する量による指数パラメータ。したがって、 $\mathcal E(\lambda)$ $\mathcal P(\lambda)$ $N$ $\mathcal E(\lambda)$ $\tau_a$ $\mathcal P(\tau_a\lambda)$ $N$ $\tau_a$ $\tau_a$ $\tau_a$

\begin{aligned} P (N = n) & = \int_{0}^{\infty} P (N = n | τ_{a}) λ_{a} e^{- λ_{a} τ_{a}} d τ_{a} \\ = \int_{0}^{\infty} \frac{(λ τ_{a})^{n}}{n!} e^{- τ_{a} λ} λ_{a} e^{- λ_{a} τ_{a}} d τ_{a} \\ = \frac{λ_{a} λ^{n}}{n!} \int_{0}^{\infty} τ_{a}^{n} e^{- τ_{a} (λ + λ_{a})} d τ_{a} \\ = \frac{λ_{a} λ^{n}}{n!} \frac{Γ (n + 1)}{(λ_{a} + λ)^{n + 1}} = \frac{λ_{a} λ^{n}}{(λ_{a} + λ)^{n + 1}} \end{aligned}

$\begin{align*} \mathbb P(N=n)&=\int_0^\infty \mathbb P(N=n|\tau_a) \,\lambda_a e^{-\lambda_a\tau_a}\,\text{d}\tau_a\\ &= \int_0^\infty \dfrac{(\lambda\tau_a)^n}{n!}\,e^{-\tau_a\lambda} \,\lambda_a e^{-\lambda_a\tau_a}\,\text{d}\tau_a\\ &=\dfrac{\lambda_a\lambda^n}{n!}\,\int_0^\infty \tau_a^n\,e^{-\tau_a(\lambda+\lambda_a)} \,\text{d}\tau_a\\ &=\dfrac{\lambda_a\lambda^n}{n!}\,\dfrac{\Gamma(n+1)}{(\lambda_a+\lambda)^{n+1}}=\dfrac{\lambda_a\lambda^n}{(\lambda_a+\lambda)^{n+1}} \end{align*}$ 幾何学的なランダム変数。（ここで、幾何変量は多数の失敗です。つまり、サポートはゼロから始まります。）

G (λ_{a} / {λ_{a} + λ})

$\mathcal G(\lambda_a/\{\lambda_a+\lambda\})$

今考慮試行の幾何数、の分布の積率母関数であるとmgf幾何学的変量の、モーメント生成関数は $N$ $N\ge 1$

ζ = \sum_{i = 1}^{N} τ_{i}

$\zeta=\sum_{i=1}^N \tau_i$

ζ

$\zeta$

E [e^{z ζ}] = E [e^{z {τ_{1} + \dots + τ_{N}}}] = E^{N} [E^{τ_{1}} [e^{z τ_{1}}]^{N}] = E^{N} [{λ / (λ - z)}^{N}] = E^{N} [e^{N (\ln λ - \ln (λ - z))}]

$\mathbb E[e^{z\zeta}]=\mathbb E[e^{z\{\tau_1+\cdots+\tau_N\}}]=\mathbb E^N[\mathbb E^{\tau_1}[e^{z\tau_1}]^N]=E^N[\{\lambda/(\lambda-z)\}^N]=E^N[e^{N(\ln \lambda-\ln (\lambda-z))}]$

G (p)

$\mathcal G(p)$

φ_{N} (z) = \frac{p e^{z}}{1 - (1 - p) e^{z}}

$\varphi_N(z)=\dfrac{pe^z}{1-(1-p)e^z}$

ζ

$\zeta$

\frac{p e^{\ln λ - \ln (λ - z)}}{1 - (1 - (λ_{a} / {λ_{a} + λ})) e^{\ln λ - \ln (λ - z)}} = \frac{p λ}{λ - z - λ^{2} / {λ_{a} + λ}}

$\dfrac{pe^{\ln \lambda-\ln (\lambda-z)}}{1-(1-(\lambda_a/\{\lambda_a+\lambda\}))e^{\ln \lambda-\ln (\lambda-z)}}=\dfrac{p \lambda}{ \lambda-z-\lambda^2/\{\lambda_a+\lambda\}}$ ここで、、これはmfg は、が指数変量であることを意味します。

p = λ_{a} / {λ_{a} + λ}

$p=\lambda_a/\{\lambda_a+\lambda\}$

\frac{λ λ_{a} / {λ_{a} + λ}}{λ - z - λ λ_{a} / {λ_{a} + λ}^{2}} = \frac{1}{1 - z (p λ)^{- 1}}

$\dfrac{\lambda\lambda_a/\{\lambda_a+\lambda\}}{ \lambda-z-\lambda\lambda_a/\{\lambda_a+\lambda\}^2}=\dfrac{1}{1-z(p\lambda)^{-1}}$

ζ

$\zeta$

E (λ λ_{a} / {λ_{a} + λ})

$\mathcal{E}(\lambda\lambda_a/\{\lambda_a+\lambda\})$

— 西安
ソース

@ Xi'anに感謝します！あなたの表記で正しいと思いますか？そのため、最後の行のモーメント生成関数は、指数分布のMGFに対応するに相当します

p = λ_{a} / (λ_{a} + λ)

$p= \lambda_a/(\lambda_a+\lambda)$

\frac{1}{1 - z {(p λ)}^{- 1}}

$\frac{1}{1-z\left(p\lambda\right)^{-1}}$

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