タグ付けされた質問 「finite-difference」

数値微分を計算したい場合、ここで Bengt Fornbergが提示した（およびここで報告した）方法は非常に便利です（正確で実装が簡単です）。1988年からの元の論文の日付として、今日、より良い代替案があるかどうか（または（ほぼ）単純かつ正確に）知りたいのですが。

11 finite-difference  precision 

固体力学の線形境界条件のコーディングに関する質問があります（線形弾性）。特別な場合には、有限差分（3D）を使用する必要があります。私はこのトピックに非常に新しいので、おそらく以下の質問のいくつかは非常に基本的なものかもしれません。 特定の問題につながるために、まず、既に実装したものを示したいと思います（わかりやすくするために、2Dのみを使用します）。 1）私は、次の離散有するdi v （σ）= 0div(σ)=0div(\sigma) = 0発散の第一の成分を示す、∂σx x∂バツ+ ∂σx y∂y= 0∂σxx∂x+∂σxy∂y=0\frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial\sigma_{xy}}{\partial y} = 0： スタッガードでないグリッドを使用しているため、UxとUyは同じ場所で定義されます。 2.）次のステップは、「ゴーストノード」を使用する境界の処理です。σ∙ n = t∗σ∙n=t∗\sigma \bullet n = t^*によると、t∗t∗t^*は境界の応力です。 （λ + 2 μ ）∂うんバツ∂バツ+ λ ∂うんy∂y= σ∗x x(λ+2μ)∂Ux∂x+λ∂Uy∂y=σxx∗(\lambda + 2\mu)\frac{\partial U_x}{\partial x} + \lambda \frac{\partial U_y}{\partial y} = \sigma_{xx}^*σ∗x xσxx∗\sigma_{xx}^* μ ∂うんバツ∂y+ …

11 finite-difference  boundary-conditions 

私はタイプの方程式を解こうとしています： （ - ∂2∂バツ2− f（X ）） ψ（X）=λψ（X）(−∂2∂x2−f(x))ψ(x)=λψ(x) \left( -\tfrac{\partial^2}{\partial x^2} - f\left(x\right) \right) \psi(x) = \lambda \psi(x) ここで、f（x ）f(x)f(x)は、最小のN個の固有値と固有ベクトルに対して、000に単純な極を持ちます。境界条件は以下のとおりですψ （0 ）= 0とψ （R ）= 0、と私はオーバー機能で探しています（0 、R ]。NNNψ （0 ）= 0ψ(0)=0\psi(0) = 0ψ （R ）= 0ψ(R)=0\psi(R)=0（0 、R ](0,R](0,R] ただし、非常に単純な等間隔の有限差分法を実行すると、最小の固有値は非常に不正確になります（「偽」の固有値が存在することがわかっているものよりも数桁大きい「最初の固有値」が2番目になりますが、まだ不十分です。 そのような有限差分スキームの精度に影響を与えるものは何ですか？特異点が問題の原因であり、不等間隔のグリッドが物事を大幅に改善すると思いますが、良い不均一な有限差分法に向けて私を指すことができる論文はありますか？しかし、おそらく高階差分スキームはそれをさらに改善するでしょうか？どのように決定しますか（または単に「両方試してみてください」） 注：私の有限差分スキームは、3つの対角線が次の対称三重対角です。 （ − 12 Δ2、1△2− f（x ）、− 12 Δ2）(−12Δ2,1Δ2−f(x),−12Δ2)\left( -\frac{1}{2 \Delta^2}, …

11 finite-difference  ode  accuracy 

誰でもポアソンの数値解法（有限差分およびクランク-ニコルソン法）に関する本や、長方形と円の間の領域で構成されるドメイン（特に本またはリンク）などの不規則な幾何学の例を含む拡散方程式に関する本を見つけるのを手伝ってもらえますかこの場合のMATLABコード例で？）

11 pde  finite-difference 

私は「登録とワーピングに最適なマストランスポート」というペーパーを実装しています。私の目標は、オイラーマストランスポートコードをオンラインで見つけることができないため、オンラインにすることです。これは、少なくとも画像処理の研究コミュニティにとって興味深いものです。 この論文は次のように要約できます。 - x座標とy座標に沿った1Dヒストグラムマッチングを使用して初期マップを見つける の固定点を、ここでは反時計回りの90度回転を表し、はディリクレ境界条件（= 0）のポアソン方程式の解を表します。そして、ヤコビ行列の行列です。 -タイムステップ安定性が保証されていますu t = 1uuuあなたt= 1μ0D U ∇⊥△− 1di v （u⊥）ut=1μ0Du∇⊥△−1div(u⊥)u_t = \frac{1}{\mu_0} Du \nabla^\perp\triangle^{-1}div(u^\perp)あなた⊥u⊥u^\perp△− 1△−1\triangle^{-1}D UDuDudt &lt; 分| 1μ0∇⊥△− 1di v （u⊥）|dt&lt;min|1μ0∇⊥△−1div(u⊥)|dt<\min|\frac{1}{\mu_0}\nabla^\perp\triangle^{-1}div(u^\perp)| 数値シミュレーション（通常のグリッドで実行）の場合、ポアソン方程式を解くためにmatlabのpoicalcを使用することを示し、風上スキームを使用して計算されるD UDuDuを除いて、空間微分に中心有限差分を使用します。 私のコードを使用すると、エネルギー関数とマッピングのカールは、2、3回の反復（タイムステップに応じて数十から数千）に対して適切に減少しています。しかし、その後、シミュレーションは爆発します。非常に少ない反復でエネルギーが増加し、NANに到達します。私は微分と積分（ここで cumptrapzのより高次の置換がここにあります）といくつかの補間スキームに対していくつかの次数を試してみましたが、常に同じ問題が発生します（非常に滑らかな画像、どこでも0でないなど）。 誰かがコードや私が直面している理論上の問題に興味がありますか？コードはかなり短いです。 デバッグ機能を備えたコード 登録機能 登録する同じサイズの2つのイメージがある場合、テストコード テストスタッフなしで必要な機能のみ（&lt;100行） 最後のgradient2（）をgradient（）に置き換えてください。これはより高次の勾配でしたが、問題も解決しません。 今のところ、紙の最適な輸送部分にのみ関心があり、追加の正則化用語には関心がありません。 よろしくお願いします！

11 pde  finite-difference  matlab  fluid-dynamics  image-processing 

クランクニコルソン有限差分スキームを使用して、1D熱方程式を解いています。熱方程式の最大/最小原理（つまり、最大/最小が初期条件または境界で発生する）も離散化された解に当てはまるかどうか疑問に思っています。 これはおそらく、クランクニコルソンが安定した収束型スキームであることによって暗示されています。しかし、Crank-Nicolsonステンシルから作成された行列を使用して、線形代数引数を介してこれを直接証明できる可能性があるようです。 これに関する文献へのポインタをいただければ幸いです。ありがとう。

10 linear-algebra  pde  finite-difference  crank-nicolson 

強制項がu 、v（定式化については以下の編集1を参照）、およびWとその1次導関数に依存する可能性がある次の問題考えます 。これは1 + 1次元の波動方程式です。{ u + v = 0 }で規定された初期データがあります。Wuv=FWあなたv=F W_{uv} = F u,vあなた、vu,vWWW{u+v=0}{あなた+v=0}\{u+v = 0\} Iは、間隔の依存のドメイン内の溶液に興味 および次有限差分スキームを考慮しています。{u+v=0,u∈[−uM,uM]}{あなた+v=0、あなた∈[−あなたM、あなたM]}\{ u+v = 0, u \in [- u_M,u_M]\} 目標は、をW u（u 、v + 1 ）− W u（u 、v ）= F （u 、v ）で進化させ、同様にW v（u + 1 、v ）− W v（u 、v ）= F …

10 finite-difference  reference-request  hyperbolic-pde 

以下の非線形方程式u t + u x + u u x − u x x t = 0 を有限差分法を使って解く論文[1]を読んでい ます。また、フォンノイマンの安定性分析を使用してスキームの安定性を分析します。ただし、作成者が認識しているように、これは線形PDEにのみ適用できます。したがって、著者は非線形項を「フリーズ」することでこれに対処します。つまり、u u x項をU u xに置き換えます。ここで、Uは「あなたt+ uバツ+ u uバツ− Ux x t= 0あなたt+あなたバツ+あなたあなたバツ−あなたバツバツt=0\begin{equation} u_t + u_x + uu_x - u_{xxt} = 0 \end{equation}U Uバツあなたあなたバツuu_xUあなたバツUあなたバツUu_xUUU。」あなたあなたu だから私の質問は2つあります： 1：この方法を解釈する方法となぜそれが機能しない（しない）のか？ 2：項をu U x項で置き換えることもできます。ここで、U xは「u xの局所的に一定の値を表すと見なされます」？U Uバツあなたあなたバツuu_xu UバツあなたUバツuU_xUバツUバツU_xあなたバツあなたバツu_x 参考文献 …

9 pde  finite-difference  numerical-analysis  nonlinear-equations  stability 

背景： コースでは、2d Navier-Stokesの実用的な数値解を1つだけ作成しました。これは、蓋​​駆動のキャビティフローのソリューションでした。ただし、このコースでは、空間的離散化と時間的離散化のスキーマについて説明しました。また、NSに適用されるシンボル操作のコースワークも取り入れました。 PDEから有限差分への分析/記号方程式の変換を処理する数値アプローチには、次のようなものがあります。 オイラーFTFS、FTCS、BTCS 緩い ミッドポイントリープフロッグ Lax-Wendroff マコーマック オフセットグリッド（空間拡散により情報が広がる） TVD 当時、私には、これらは「挿入名がスキームを見つけて、たまたま機能する」ように見えました。これらの多くは「豊富なシリコン」の時代以前のものでした。これらはすべて近似値です。限界で彼ら。理論的には、PDEにつながります。 直接数値シミュレーション（DNS）は楽しいものであり、レイノルズ平均ナビエストークス（RANS）も楽しいものですが、これらは計算上扱いやすく、現象を完全に表現する連続体の2つの「エンドポイント」です。これらの内部に住むアプローチには、複数のファミリーがあります。 講義で、CFDの教授に、ほとんどのCFDソルバーはきれいな絵を描くと言われましたが、ほとんどの場合、これらの絵は現実を表していないため、現実を表しています。 （私が理解しているように、網羅的ではない）開発のシーケンスは次のとおりです。 支配方程式から始める-&gt; PDE 空間的および時間的離散化を決定-&gt;グリッドおよびFDルール 初期条件と境界条件を含むドメインに適用する 解く（行列の反転に関する多くのバリエーション） 全体的なリアリティチェックを実行し、既知のソリューションに適合させるなど。 分析結果から派生したいくつかのより単純な物理モデルを構築する それらをテストし、分析し、評価する 繰り返す（ステップ6、3、または2にジャンプして戻る） 考え： 私は最近、CARTモデル、斜めツリー、ランダムフォレスト、および勾配ブーストツリーで作業しています。それらはより数学的に導き出されたルールに従い、数学は木の形を動かします。彼らは、離散化された形をうまく作るように働きます。 これらの人間が作成した数値アプローチはいくらか機能しますが、その結果をモデル化することを意図している物理現象に関連付けるために必要な広範な「ブードゥー教」があります。多くの場合、シミュレーションは実際のテストと検証に実質的に取って代わりません。間違ったパラメーターを使用したり、実際の世界で経験したジオメトリやアプリケーションパラメーターの変動を考慮に入れたりするのは簡単です。 質問： 問題の性質に 適切な離散化、空間的および時間的差分スキーム、初期条件、またはソリューションを定義させるためのアプローチはありましたか？ 機械学習の手法と組み合わせた高精細ソリューションを使用して、ステップサイズがはるかに大きいが収束、精度などを維持する差分スキームを作成できますか？ これらのスキームはすべて、アクセスしやすい「人為的に導き出すのが容易」です-それらにはいくつかの要素があります。より良い仕事をする何千もの要素を持つ差分スキームはありますか？それはどのように導出されますか？ 注：別の質問で、（分析的にではなく）経験的に初期化され、経験的に導出されたものをフォローアップします。 更新： 深層学習を使用して、格子ボルツマンフローを加速します。特定のケースで最大9倍のスピードアップ Hennigh、O.（プレスリリース中）Lat-Net：ディープニューラルネットワークを使用した圧縮格子ボルツマンフローシミュレーション。取得元：https : //arxiv.org/pdf/1705.09036.pdf コード付きのレポ（私は思う）：https : //github.com/loliverhennigh/Phy-Net 同じハードウェアで、GPUよりも約2桁高速、CPUよりも4桁高速、つまり〜O（10,000x）高速です。 Guo、X.、Li、W.＆Ioiro、F. Convolutional Neural Networks for Steady Flow Approximation。取得元：https …

9 finite-difference  fluid-dynamics  machine-learning  numerics 

3つの連立方程式のシステムに差分法を適用しています。2つの方程式は結合されていませんが、3番目の方程式は他の2つの方程式に結合しています。方程式の順序をから（x 、z 、y ）に変更することで、係数行列が対称になることに気付きました。（x 、 y、 z）(x,y,z)(x, y, z)（x 、 z、 Y）(x,z,y)(x, z, y) これを行う利点はありますか？たとえば、ソリューションの安定性または効率/速度の観点から。行列は非常にスパースであり、それが重要な場合、非ゼロ項は中央の対角線に沿っています。

9 finite-difference  symmetry 

がフーリエ変換（不均一または均一）、有限差分、および対角行列組み合わせである場合、大きな行列の条件数をどのように近似しますか？G F R SGGGGGGFFFRRRSSS 行列は非常に大きく、メモリには保存されず、関数としてのみ使用できます。 特に、次のマトリックスがあります。 Gμ= SHFHFS+ μ RHRGμ=SHFHFS+μRHRG_\mu=S^HF^HFS+\mu R^HR と条件数の関係を調べたい。K （G μ）μμ\muk （Gμ）k（Gμ）k(G_\mu) ある種の反復的なアプローチが必要だと思いますか？最適には、利用可能なMATLABコードがいくつかあります。

9 linear-algebra  matlab  finite-difference  condition-number 

次の予備的な数値解析手法のみを使用する代わりに、バーンスタイン多項式を使用して連続関数を近似することが望ましい場合：「ラグランジュ多項式」、「単純有限差分演算子」。 問題は、これらの方法を比較することです。

9 finite-element  finite-difference  interpolation 

次の周期的な1D移流問題があったとします。 Ω=[0、1]U（0、T）=U（1、T）、U（X、0）=G（X）G（X）のx*∈（0、1）∂u∂t+c∂u∂x=0∂u∂t+c∂u∂x=0\frac{\partial u}{\partial t} + c\frac{\partial u}{\partial x} = 0 in ここで、はでジャンプの不連続性を持っています。 Ω=[0,1]Ω=[0,1]\Omega=[0,1] u(0,t)=u(1,t)u(0,t)=u(1,t)u(0,t)=u(1,t) u(x,0)=g(x)u(x,0)=g(x)u(x,0)=g(x)g(x)g(x)g(x)x∗∈(0,1)x∗∈(0,1)x^*\in (0,1) 一次以上の線形有限差分スキームでは、不連続な振動が時間とともに移流されるときに不連続点の近くでスプリアス振動が発生し、その結果、予想される波形から解が歪みます。ウィキペディアの説明によると、これらの振動は通常、不連続関数が有限フーリエ級数で近似されるときに発生するようです。 どういうわけか、このPDEの解で有限フーリエ級数がどのように観測できるのか理解できません。特に、「オーバーシュート」の限界を分析的にどのように推定できますか？

9 pde  finite-difference  advection 

弾性固体の運動方程式は、 ∇⋅σ+f=ρu¨σ=Cεε=12(∇u+[∇u]T)∇⋅σ+f=ρu¨σ=Cεε=12(∇u+[∇u]T)\begin{align} &\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \mathbf{f} = \rho \ddot{\mathbf{u}}\\ &\boldsymbol{\sigma} = \mathbb{C}\boldsymbol{\varepsilon}\\ &\boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left(\nabla \mathbf{u} + [\nabla\mathbf{u}]^T\right) \end{align} またはインデックス表記 σij,j+fi=ρui¨σij=Cijklεklε=12(ui,j+uj,i)σij,j+fi=ρui¨σij=Cijklεklε=12(ui,j+uj,i)\begin{align} &\sigma_{ij,j} + f_i = \rho \ddot{u_i}\\ &\sigma_{ij} = C_{ijkl}\varepsilon_{kl}\\ &\varepsilon = \frac{1}{2}(u_{i,j} + u_{j,i}) \end{align} uu\mathbf{u}は変位ベクトル、ff\mathbf{f}は物体力（ソース項）、σσ\boldsymbol{\sigma}は応力テンソル、εε\mathbf{\varepsilon}はひずみテンソル、CC\mathbb{C}は剛性テンソルです。等方性固体の場合、剛性テンソルは2つの異なる定数で記述されます。境界のないドメインの場合、方程式は非結合の2種類の波を認め、安定性の基準は2つの異なるケースの最悪のケース（つまり、 、より高速なもの）。 以下のために横等方性材料テンソルを定義する5つの独立したパラメータ、および波（それらの2が結合している）の3種類があります。より一般的なケースでは、パラメーターの数は21で、波は結合されます。 質問：一般的な場合のタイムマーチングアルゴリズムの安定性の基準をどのようにして見つけますか？

8 pde  numerical-analysis  finite-difference  cfl  solid-mechanics 

解くPDEのシステムがあるとします。少なくとも簡単にするために、それが時間に依存せず、（x、y）空間の長方形グリッド上で解決された準線形（その導関数では線形）であり、境界条件がすべて指定されていると仮定しましょう。私の質問はより一般的ですが、ここから始めましょう。 2つの従属変数、とv （x 、y ）がある場合があります。一般的な方程式は次のような形になります。u （x 、y）あなた（バツ、y）u(x,y)v （x 、y）v（バツ、y）v(x,y) a （x 、y）Yx x+ b （x 、y）Yyy+ c Yx y+ d（x 、y）Yバツ+ e （x 、y）Yy= f（x 、y、Y）a（バツ、y）Yバツバツ+b（バツ、y）Yyy+cYバツy+d（バツ、y）Yバツ+e（バツ、y）Yy=f（バツ、y、Y） a(x,y) Y_{xx} + b(x,y) Y_{yy} + cY_{xy} + d(x,y) Y_x + e(x,y) Y_y = f(x, y, Y) ここで、からeまでのすべての関数は2x2行列、fは2x1行列、YはaaaeeefffYYY Y（x 、y）= （u （x 、y）v （x …

8 pde  matlab  finite-difference