対称性のない行列と比較して、対称行列を解くことには数値的な利点がありますか？

3つの連立方程式のシステムに差分法を適用しています。2つの方程式は結合されていませんが、3番目の方程式は他の2つの方程式に結合しています。方程式の順序をからことで、係数行列が対称になることに気付きました。 $(x, y, z)$ $(x, z, y)$

これを行う利点はありますか？たとえば、ソリューションの安定性または効率/速度の観点から。行列は非常にスパースであり、それが重要な場合、非ゼロ項は中央の対角線に沿っています。

finite-difference symmetry

— 少年ファレル
ソース

はい、対称システムを解くのに非対称システムよりもはるかに少ない労力で済みます。さらに、係数行列が正定であることを示すことができれば、適切な場所にいます。

— JM

絶対に！

まず、一部の線形代数システムは、行列の半分のみを格納するのに十分スマートであり、これにより大量のメモリを節約できます。しかし、そうでない場合でも、数値線形代数のさまざまなアルゴリズムが対称性を利用します。

たとえば、対称行列が与えられた場合、固有ソルバーはすべての固有値が実数値であることを即座に認識し、解法はその事実を使用できます。

$Ax=b$

$A=LU$ $L$ $U$ $A$ $A=LL^T$

— ニコ・シュレーマー
ソース

「...そして、解法は、例えば、計算中に虚数部の丸め誤差をカットすることによって、その事実を使用するかもしれない。」-コンピューティング環境のようなものは、対称性を利用する方法を使用しており、実際の結果を保証します。

— JM 2013年