「波動方程式」の有限差分スキーム、特性の方法

強制項が（定式化については以下の編集1を参照）、およびとその1次導関数に依存する可能性がある次の問題考えます。これは1 + 1次元の波動方程式です。規定された初期データがあります。

W_{あなた v} = F

$W_{uv} = F$

u, v

$u,v$

W

$W$

{u + v = 0}

$\{u+v = 0\}$

Iは、間隔の依存のドメイン内の溶液に興味および次有限差分スキームを考慮しています。

{あなた + v = 0 、 あなた \in [- {あなた}_{M} 、 {あなた}_{M}]}

$\{ u+v = 0, u \in [- u_M,u_M]\}$

目標は、をで進化させ、同様にです。このスキームはという意味で統合可能です $W_u$ $W_u(u,v+1) - W_u(u,v) = F(u,v)$ $W_v(u+1,v) - W_v(u,v) = F(u,v)$ $W (u, v) + W_{u} (u, v) + W_{v} (u + 1, v) = W (u + 1, v + 1) = W (u, v) + W_{v} (u, v) + W_{u} (u, v + 1)$ $W(u,v) + W_u(u,v) + W_v(u+1,v) = W(u+1,v+1) = W(u,v) + W_v(u,v) + W_u(u,v+1)$ 上向きに積分することで、初期データから一貫してを計算できます。したがって、実際に必要なのは、と進化方程式のみです。 $W$ $W_v$ $W_u$
初期データの場合、互換性条件です。これは、与えられた値を持つ初期時間での（）前方差分を使用して初期データを計算できることを示唆しています $W_u(u,v) - W_v(u+1,v-1) = W(u+1,v-1) - W(u,v)$ $u$ $W$ $W_t$ 半整数点。 $(u+0.5,v-0.5)$

質問：

これはよく知られたスキームですか？特に、このスキームの分析はどこにありますか？
私が気をつけなければならない明らかなことはありますか？

背景：私はほとんど何も知らないふりをします（私は純粋な数学者なので、少しだけ計算機構を学ぼうとしています）。

編集1：明確にするため（いくつかのコメントに対処するため）：座標の方程式はあり、とは（nのいくつかのくりこみ係数まで）によって与えられる「null座標」です。および。したがって、の初期データは、実際にはます。 $x$ $t$

W_{t t} - W_{x x} = F

$W_{tt} - W_{xx} = F$

u

$u$

v

$v$

u = t + x

$u = t+x$

v = t - x

$v = t-x$

{u + v = 0}

$\{u+v = 0\}$

{t = 0}

$\{t = 0\}$

したがって、に適合されたメッシュの代わりに、「45度回転」された適合されたメッシュを検討します。比較してここで値整数とり、一方が考えることができる、追加点を有するようにメッシュの両方（ただし、一つだけの）及び半整数値をとることを。 $(t,x)$ $(u,v)$ $(t,x)$ $t,x$ $u,v$ $t$ $x$

finite-difference reference-request hyperbolic-pde

— ウィリー・ウォン
ソース

私はあなたの添え字に少し混乱していますが、これはある種の有限差分時間領域定式化のように見えます。。。おそらく、千鳥配置のメッシュ式（半数のインデックス？）を使用します。

— meawoppl 2012

@meawoppl：彼は変数の代わりに

呼び出すだけです

u, v

$u,v$

x, t

$x,t$

u, v

$u,v$

45^{\circ}

$45^\circ$

x, t

$x,t$

明確にするために編集しました（Wolfgang Bangerthの説明は私が考えていたものです）。

— ウィリーウォン

回答:

このような計画に関する文献は間違いなくあります。2つのキーワードは

特性の修正方法
セミラグランジアンスキーム

グーグルで20分後：重要な可能性があるいくつかの論文は、http：//dx.doi.org/10.1137/0719063およびhttp://dx.doi.org/10.1137/0728024です（そこから前方に検索）。それらはおそらく最良のリファレンスではありませんが、適切な文献にアクセスするための出発点になるはずです。

私はこれを、次元分割を伴う回転された線の方法と考えています。おそらくあなたはあなたの方程式の等価性と波動方程式の通常の形非常によく知っているでしょう、変換下私にとって、あなたのスキームをこの伝統的な波動方程式の形で考えることは役に立ちます。スキームが行うことは、最初に1つの特性セットに沿って統合し、次に他の特性セットに沿って統合することです。統合は、次元分割とオイラー法を使用して行われます

W_{t t} - W_{バツ バツ} = F

$W_{tt}-W_{xx} = F$

あなた = t + バツ 、 v = t - バツ 。

$u = t+x, \ \ \ \ v = t-x.$ 、どちらも一次精度です。

もちろん、特性に沿って統合しているため、場合のスキームは正確になり。つまり、スキームの数値エラーは数値積分のみに起因します（これは明白かもしれませんが、より伝統的な数値手法に慣れている人を指摘するのにおそらく役立ちます）。さらに、場合、スキームは無条件に安定してい。いくつかの特性を知らなければ、その安定性についてこれ以上言うことはできません。一般に、このスキームは、有限のステップサイズ制限の下でのみ安定します（オイラーの方法が明示的であるため）。のヤコビアン $F=0$ $F$ $F=0$ $F$ $F$ 純粋に虚数の固有値がある場合、スキームは不安定になります。

（メソッドのように）PDEをODEのシステムに還元する一般的な離散化アプローチは、線のメソッドとして知られています。ラインを離散化する他の方法と同様に、高次ODEソルバーを使用して精度の次数を増やし、適切な陰的ODEソルバーを使用して安定性を向上させることができます（これに伴い、ステップあたりの計算コストが増加します）。

— デビッド・ケチェソン
ソース

「しかしグーグルはあなたをもっと助けます」実際、それは大きな問題の一つです。正確にはわからないGoogleが何を目的とするのか（数値の文献では純粋な文献とは異なる用語が使用されているので）。検索すべきキーワードを提案していただければ幸いです。（たとえば、「メソッドの行」は、私に非常に豊富な情報を示しています[たぶん、私にとっては:-)でフィルタリングできるようになります]）

— Willie Wong

@WillieWong-一般的に引用される双曲線方程式の1つの参照はLeVequeの双曲線問題有限体積法です。これが最初に参照するのに適切な参照かどうかはわかりませんが、少なくとも、この分野の用語とテクニックの概要を説明します。

— Aron Ahmadia 2012

さて、いくつかのキーワードと参照を追加しました。彼らが役に立てば幸いです。

— David Ketcheson、2012

参照していただきありがとうございます！それは私に良いスタートを切った。

— ウィリーウォン

David Ketchesonが答えを残してくれたところから始めて、もう少し検索すると、いくつかの歴史的なメモが明らかになりました。

上で概説したスキームは、J。マッサウによって1900年にすでにメモアシュルリンテグレーショングラフデエクィケーションオデリヴェパルティルで検討されていました。この作品はG. Delporte、Monsによって1952年に再発行されました。

その収束などの最初の（簡潔ではありますが）現代の分析は、クーラント、フリードリヒス、およびレビーの数学における古典的な1928年の論文で示されました。アン。

— ウィリー・ウォン
ソース

うわー、これがCFLの論文にあることに気づかなかったなんて信じられません...

— David Ketcheson