有限の違いがある堅固なメカニズム：「コーナーノード」の処理方法

固体力学の線形境界条件のコーディングに関する質問があります（線形弾性）。特別な場合には、有限差分（3D）を使用する必要があります。私はこのトピックに非常に新しいので、おそらく以下の質問のいくつかは非常に基本的なものかもしれません。

特定の問題につながるために、まず、既に実装したものを示したいと思います（わかりやすくするために、2Dのみを使用します）。

1）私は、次の離散有する$div(\sigma) = 0$発散の第一の成分を示す、$\frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial\sigma_{xy}}{\partial y} = 0$：

スタッガードでないグリッドを使用しているため、UxとUyは同じ場所で定義されます。

2.）次のステップは、「ゴーストノード」を使用する境界の処理です。$\sigma \bullet n = t^*$によると、$t^*$は境界の応力です。

$(\lambda + 2\mu)\frac{\partial U_x}{\partial x} + \lambda \frac{\partial U_y}{\partial y} = \sigma_{xx}^*$$\sigma_{xx}^*$

$\mu\frac{\partial U_x}{\partial y} + \mu \frac{\partial U_y}{\partial x} = \sigma_{xy}^*$$\sigma_{xy}^*$

3.）私は今まで私のすべてのステップが論理的であるように思えます、そうでなければ、私を修正してください。しかし、今では「コーナーノード」もあり、それらを処理する方法がわかりません。

$div(\sigma) = 0$

だから私の質問は、これらの「コーナーノード」を処理する正しい方法は何ですか？私はすべてのアイデアに満足しています。

特に、均一に加えられた横方向の圧力で構造プレートの問題を解決する際に、コーナー境界条件で同様の問題が発生しました。特に、エッジ（コーナーを含む）のせん断荷重を取得しようとしている場合。せん断荷重は、∂^ 3 w /∂^ 2x∂yの関数です。中央差分スキームを使用すると、この導関数を決定するために、コーナーノードと対角にある「ゴースト」ノードが必要になります。隣接ノードに基づく平均化が適切であるとは思わない。私がやったことは、コーナーノードで計算したねじりモーメントMxyを使用し、それを変位の関数としてのねじりモーメントの有限差「分子」と同等にすることでした。（プレートのエッジに沿った境界条件に基づいて）他のすべての隣接ノードの変位をすでに知っているので、この「トリッキーな」コーナーノードを解決するのは簡単なことでした。これがお役に立てば幸いです。

一意の解を持たない連立方程式を解こうとしている可能性があります。バネで接続された空間に浮かぶ多数のノードがあり、各ノードの平衡位置を見つけたいとします。システムが固定されたものに固定されていない（または力が加えられていない）場合、多くの解決策があります。どのソリューションも常に翻訳またはローテーションできますが、それでもソリューションです。1つのコーナーノードで変位を修正して平行移動を排除し、1つのディスプレイスメントを別のコーナーで修正して回転を排除しようとしましたか？

一部のノードを修正し、他のノードで法線力を調整するこのアプローチを試しましたが、個々の境界ノードで大量の力を集中させ、不安定になりました。最終的に機能したのは、数個のノードを固定するのではなく、すべてのノードを同種のひずみに対して固定することでした。基本的に、システム全体に均一にひずみを与えますが、各ノードのひずみのローカル定義に均一な成分を含めるため、追加の弾性エネルギーには寄与しません。あなたはこの論文ではそれについての詳細を読むことができると引用文献：http://pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/nn204177u。

この不安定性の問題は、可能であれば、メカニクスの問題に有限要素を選択する十分な理由でしょう。