アプリケーションでバーンスタイン多項式を使用する場合

次の予備的な数値解析手法のみを使用する代わりに、バーンスタイン多項式を使用して連続関数を近似することが望ましい場合：「ラグランジュ多項式」、「単純有限差分演算子」。

問題は、これらの方法を比較することです。

バーンスタイン多項式とラグランジュ多項式はどちらも同じ空間に広がります。したがって、表現できる機能の点では、どちらを使用しても違いはありません。ただし、これらを有限要素法または補間問題のいずれかで基底関数として使用することを考えている場合、作成する線形演算子のスペクトルプロパティは、基底として選択する多項式に依存します。これにより、反復ソルバーの収束に違いが生じる可能性があります。ただし、線形代数誤差がない場合は、どちらの基底を使用しても同じ答えが得られます。

これを有限差分演算子と比較すると、話は異なります。多項式を使用すると、連続ノルムでエラー近似が得られます。私は有限差分に精通していませんが、離散化することを選択した場所でのみ誤差推定値が得られることを理解しています。これらの点の間で何が起こるかはそれほど明確ではありません。

ODEとPDEの境界値問題を解くために、コロケーション法でバーンスタイン多項式を使用します。彼らは非常に興味深いです。

一部の線形BVPの収束は指数関数的でしたが、チェビシェフコロケーション、ルジャンドルガレルキン、タウと比較すると少し遅いです。

これは、収束率をいくつかのチェビシェフスペクトル法と比較した図です。問題の例は線形BVPです。

$\frac{d^2u}{dx^2}-4\frac{du}{dx}+4u = e^x +C \;,\; x \in [-1,1]$

$C=-4e/(1+e)^2$

この図もfigshareにアップロードしました。

必要に応じて、私が書いているコードをチェックアウトできます。

http://code.google.com/p/bernstein-poly/

そして、これが私がバーンスタイン多項式コロケーションを使用して正方形上の楕円BVPを解くことについて書いたarxiv論文です。

昨年彼らはバーンスタイン多項式の100周年を祝った-もう1つの興味深い事実。

以下の論文は、バーンスタイン形式で多項式を表すことが、多くの場合、数値的に安定したアルゴリズムにつながることを示しています。

RT Farouki、VT Rajan、バーンスタイン形式の多項式の数値条件について、コンピュータ支援の幾何学的設計、第4巻、第3号、1987年11月、ページ191-216、DOI：10.1016 / 0167-8396（87）90012-4

ベジエ曲線の制御点は曲線に近接していますが、必ずしも曲線上にあるとは限りません。これは、バーンスタイン多項式による近似の場合とまったく同じ状況であり、実際には、バーンスタイン多項式がベジエ曲線の基礎です。高次のベジエ曲線を使用して、ノイズの多いポイントによって与えられた曲線を通る滑らかな線を描くことができます。また、計算量が多いため、誰もこれを行うことはありません。実際、高次の多項式補間がその理由で使用されることはほとんどなく、チェビシェフ補間のみがその規則の例外になる場合があります。

しかし、低次の多項式補間についてのみ話している場合、制御点を介したベジエ曲線の直感的な仕様は、他の方法よりも明らかに有利です。ただし、この点ではNURBSの方が優れていますが、少なくともベジエ曲線はNURBSの特殊なケースであり、バーンスタイン多項式もNURBSの重要な要素です。