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行列の固有分解を見つけることの複雑さ
私の質問は簡単です： コンピューティングのための最もよく知られているアルゴリズムの実行時間最悪の場合は何である固有値分解のマトリックスは？n × nn×nn \times n 固有分解は行列乗算に還元されますか、それとも最悪の場合で最も知られているアルゴリズム（SVD経由）ですか？O （n3）O(n3)O(n^3) 条件番号のような問題に依存する定数を持つ境界ではなく、最悪の場合の分析（のみで）を求めていることに注意してください。nnn 編集：以下の回答のいくつかを考えて、質問を調整させてください：私は -approximationに満足するでしょう。近似は、乗法、加法、エントリ単位、または任意の合理的な定義にすることができます。ようなものよりもへの依存性が高い既知のアルゴリズムがあるかどうかに興味がありますか？nはO （P O LのY（1 / ε ）N 3）ϵϵ\epsilonnnnO （p o l y（1 / ϵ ）n3）O(poly(1/ϵ)n3)O(\mathrm{poly}(1/\epsilon)n^3) 編集2：対称行列に関するこの関連質問を参照してください。
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円周率の計算の複雑さ
させて Lは、= { N ：N のT H のバイナリ桁 πで ある 1 }L = { N ：Nt hπの 2進数 は 1 }L = \{ n : \text{the }n^{th}\text{ binary digit of }\pi\text{ is }1 \} （nはバイナリでエンコードされていると考えられます）。それでは、Lの計算の複雑さについて何が言えますか？それはそれは明らかですL ∈ E X P。そして、私は間違っていない場合は、驚くべき「BBP型」アルゴリズム計算するためのn Tの時間のビットπを準線形時間と使用（ログN ）O （1 ）前のビット、降伏計算することなく、メモリLを∈ P S P A C E。nnLLL\in\mathsf{EXP}n^{th}\pi(\log n)^{O(1)}L\in\mathsf{PSPACE} …
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計算で実数はどのように指定されますか？
これは基本的な質問かもしれませんが、私はナッシュ平衡計算や線形縮退テストなどのテーマに関する論文を読んで理解しようとしており、入力として実数がどのように指定されているのかわかりませんでした。たとえば、LDTに特定の多項式の下限があると記載されている場合、実数は入力として扱われるときにどのように指定されますか？
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普遍近似定理—ニューラルネットワーク
これは以前にMSE に投稿しましたが、ここで質問する方が良いかもしれません。 普遍近似定理は、「限られた数の隠れニューロンを含む単一の隠れ層を備えた標準的な多層フィードフォワードネットワークは、活性化関数に関する穏やかな仮定の下で、Rnのコンパクトなサブセットの連続関数間の普遍的な近似器である」と述べています。 私はこれが何を意味するのか理解していますが、関連する論文は数学の理解レベルをはるかに超えており、なぜそれが真実であるか、隠れ層が非線形関数をどのように近似するかを把握することはできません。 それでは、基本的な計算や線形代数よりも少し高度な用語で、1つの隠れ層を持つフィードフォワードネットワークはどのように非線形関数を近似しますか？答えは必ずしも完全に具体的である必要はありません。
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正方行列のべき乗を計算する方法は？
我々は、マトリックス与えられていると仮定、およびlet。その行列のパワーをどれくらい速く計算できますか？A ∈ RN× NA∈RN×NA \in \mathbb R^{N\times N}M ∈ N0m∈N0m \in \mathbb N_0AmAmA^m 積を計算することと比較した場合の次善の策は、高速なべき乗を使用することです。これには、行列積が必要です。mmmO （ログm ）O（ログ⁡m）\mathcal O(\log m ) 対角化可能な行列の場合、固有値分解を使用できます。それは自然な一般化であるジョーダン分解であり、挿管下では不安定であり、したがってカウントされません（afaik）。 一般的な場合の行列の累乗は高速化できますか？ 高速累乗法は、この質問のバリエーションも有用であることを示唆しています。 一般的な行列の二乗は、既知の行列乗算アルゴリズムよりも速く計算できますか？AAA
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ボリューム推定の動機
ランダムウォーク法に関する最近の論文で検討されている種類の凸多面体の体積を推定するための具体的で魅力的なアプリケーションは何ですか？ 体積推定に関するこれらの論文では、1つの動機として数値積分について言及しています。以前の方法を使用して計算するのが非常に難しい、人々が実際に計算したい積分の例は何ですか？または、1000次元のポリトープの体積を計算するための他の魅力的な実用的なアプリケーションはありますか？
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シンプレックス法の数値安定性
シンプレックスアルゴリズムは、実際の算術演算で処理されるか、正確な計算を行う離散世界で処理されることがよくあります。ただし、ほとんどの場合、浮動小数点演算で実装されるようです。 これは、シンプレックスアルゴリズムを数値アルゴリズムと見なすべきかどうか、特に丸め誤差が計算にどのように影響するかという問題につながります。私は実用的な実装には興味がありませんが、理論的な基礎に興味があります。 この問題に関する研究を知っていますか？
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多項式の整数根
整数係数を持つ多項式すべての整数根を見つけるためにどのようなアルゴリズムを使用できますか？f(x)f(x)f(x) すべての係数が非常に大きい場合でも、Sageは数秒以内に根を見つけることができることを観察しました。どのようにしてそれを行うことができますか？f(x)f(x）f(x)
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平方根問題の和の上限の証明
[1]では、Gareyら。ユークリッドTSPのNP完全性を計算する過程で、後で平方根問題の和と呼ばれるものを特定します。 整数a1、 a2、… 、 aんa1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_nおよびLLL与えられると、a1−−√+ a2−−√+ ⋯ + aん−−√&lt; La1+a2+⋯+an&lt;L\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2} + \cdots + \sqrt{a_n} < L 彼らは、合計をLLLと十分に比較するために平方根の計算に必要な精度の最小桁数が明確でないため、この問題がNPにあることは明らかではないことを認めています。しかし、それらは、アッパーの結合知られている最良の引用ないO （m 2ん）O(m2n)O(m2^n)メートルmm「オリジナルのシンボリック表現の桁数」です。残念ながら、この上限はAM Odlyzkoからの個人的なコミュニケーションにのみ起因します。 誰かがこの上限を適切に参照していますか？または、公開された参照がない場合は、証明または証明スケッチも役立ちます。 注：この限界は、Bernikelらのより一般的な結果の結果として推測された可能性があると思います。al。[2]算術式のより大きなクラスの分離境界に関する2000年頃。私は、より同時期の参照（つまり、1976年頃に知られているもの）や平方根の合計の場合に特化した証明に主に関心があります。 ギャリー、マイケルR.、ロナルドL.グラハム、デビッドS.ジョンソン。「いくつかのNP完全な幾何学的問題。」コンピューティング理論に関する第8回ACMシンポジウムの議事録。ACM、1976。 バーニケル、クリストフ、他。" 部首を含む算術式のための強力で簡単に計算可能な分離。" Algorithmica 27.1（2000）：87-99。
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*対称*行列の固有分解を見つけることの複雑さ
これは、前の質問の特殊版です： マトリックスの固有分解を見つけることの複雑さ。 NxN対称行列の場合、固有分解を計算するにはO（N ^ 3）時間で十分であることがわかっています。問題は、サブキュービックな複雑さを実現できるかどうかです。ありがとう。
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代数的数に関する指数関数
代数的な数与えられた場合、私は の特定の精度までの近似を見つけることに興味があります。ここで、は複素数の実数部を指します。ℜ （E α）ℜ （）αα\alphaR(eα)ℜ(eα)\Re(e^\alpha)R()ℜ()\Re() 形式的には、ような 有理数を計算したい| ℜ （E α）- R | ≤ 2 - Nrrr|R(eα)−r|≤2−n|ℜ(eα)−r|≤2−n|\Re(e^\alpha)-r|\leq 2^{-n} αα\alphaは（標準の）最小多項式によって与えられます。 この問題をどれだけ早く解決できますか？ 場合浮動小数点、以下の基準として与えられます。αα\alpha R.ブレント。初等関数の高速倍精度評価。JACM、1976。 答えを出すようです。 ただし、代数的数使用できるかどうかはわかりません。 αα\alpha
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