円周率の計算の複雑さ

させて

$L = \{ n : \text{the }n^{th}\text{ binary digit of }\pi\text{ is }1 \}$

（nはバイナリでエンコードされていると考えられます）。それでは、Lの計算の複雑さについて何が言えますか？それはそれは明らかですL ∈ E X P。そして、私は間違っていない場合は、驚くべき「BBP型」アルゴリズム計算するためのn Tの時間のビットπを準線形時間と使用（ログN ）O （1 ）前のビット、降伏計算することなく、メモリLを∈ P S P A C E。$n$$L$$L\in\mathsf{EXP}$$n^{th}$$\pi$$(\log n)^{O(1)}$$L\in\mathsf{PSPACE}$

さらに改善して、カウント階層にL（たとえば）を配置できますか？もう一方の方向では、Lに硬さの結果はありますか（T C 0-硬さのような非常に弱いものでも）？$L$$L$$\mathsf{TC}^0$

興味深い関連言語は

$L' = \{ \langle x,t\rangle : x\text{ occurs as a substring within the first }t\text{ digits of }\pi \}$

（ここでも、tはバイナリで書かれています）。我々は持っています$t$

$L' \in \mathsf{NP}^L$

従ってL ' ∈ P S P A C E。より良いものが知られているなら、私は非常に興味があるでしょう。$L' \in \mathsf{PSPACE}$

OK、ジェームス・リーは指さくれている。この2011年論文私の言語のことを証明しているサミールダッタとRameshwar Pratapことで、L（の数字エンコードπは）カウント階層（の第四レベルであるP H P P P P P Pを、以下のSamiD が、論文で欠落しているP Pを指摘してくれたことに感謝します。論文はまた、明示的に私の質問について説明低く、それが唯一の二進数計算するためにバインドされ、非常に弱い低証明するために管理していますが、無理数の2進数計算の複雑さの範囲を合理的に$L$$\pi$$\mathsf{PH}^{\mathsf{PP}^{\mathsf{PP}^{\mathsf{PP}}}}$$\mathsf{PP}$数字。これはまさに私が探していたものです。

更新（4月3日）：カウント階層で計算可能なπの数字の面白い結果は次のとおりです。仮定πは（そのバイナリ素早く膨張収束「を効果的にランダム」に）正常な数であり、仮定そのP = P P（わずか多項式オーバーヘッドを伴うシミュレーションを伴います）。次に、たとえば、πのバイナリ展開でシェイクスピアの完全な作品の最初の出現を見つけるためにコンピューターをプログラムすることは実行可能です。それがあなたにとって馬鹿げているように思えるなら、多分それはP ≠ P Pであるという追加の証拠としてとられるべきです。:-)$\pi$$\pi$$\mathsf{P} = \mathsf{PP}$$\pi$$\mathsf{P} \ne \mathsf{PP}$