ボリューム推定の動機

ランダムウォーク法に関する最近の論文で検討されている種類の凸多面体の体積を推定するための具体的で魅力的なアプリケーションは何ですか？

体積推定に関するこれらの論文では、1つの動機として数値積分について言及しています。以前の方法を使用して計算するのが非常に難しい、人々が実際に計算したい積分の例は何ですか？または、1000次元のポリトープの体積を計算するための他の魅力的な実用的なアプリケーションはありますか？

凸型ポリトープの体積の推定と、それからのサンプリングの密接に関連するタスクには、プライベートデータのリリースに応用できます。

大まかに、あなたが解決したい問題は次のとおりです。データベース上の数値クエリのコレクションを与えられ、差分プライバシーを満足しながら、実際の答えにできるだけ近いそれらの質問に対する答えを考え出します。ある範囲のパラメーターでは、この問題を解決するための最適なアルゴリズムには幾何学的な記述があり、その実装には凸状ポリトープからのサンプリングが含まれます。こちらをご覧ください：http : //arxiv.org/pdf/0907.3754v3.pdf

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コンピュータセキュリティでは、定量的情報フローの研究がこれらの方法を適用して、特定のプログラムによって漏洩する可能性のある機密情報の量を推定しています。ここでは、実行の特定のポイントでプログラムの可能な状態を表す多面体を構築し、可能な状態の数について何かを推定します（これはリリースされる情報の量に関連します）。したがって、分析の特定の時点で、彼らは多面体の内部に含まれる整数点の数を数えようとします。これは、ボリュームの見積もりに関連しています（私にとって）。

ここに代表的な初期の論文があります：

• 情報漏洩の自動発見と定量化。マイケル・バックス、ボリス・コップ、アンドレイ・リバルチェンコ。IEEEセキュリティ＆プライバシー2009。

とはいえ、これはまさにあなたが探しているものではないかもしれません。多面体の内部の整数点の数を数えるメソッドが必要です。これは、多面体の体積とは異なります。また、次元1000以上の多面体を分析する必要はないと思います（それについてはわかりませんが）。

Hari Narayananは最近、arXivに関する論文を投稿しました。この論文では、凸多面体の体積の推定を使用して、Littlewood-Richardson（LR）係数に関する特定の結果を証明しています。LR係数は、幾何学的複雑性理論、素粒子物理学、およびその他の多くの分野に応用される表現理論の特定の整数です（詳細については、上記の論文の紹介を参照してください）。繰り返しますが、おそらくあなたが望んでいたものとはまったく異なりますが、それでも興味深い接続です。

例：経済予測の例/ケーススタディ、すなわちサプライチェーン管理については、Sharma、Prasanna、Aswalによる凸体のN次元体積推定：アルゴリズムとアプリケーションを参照してください。

私たちの方法を使用して、堅牢な最適化フレームワークで、制約領域の情報内容と不確実性を定量化できます。サプライチェーン管理におけるアプリケーションを、将来の不確実性の条件下で示します。

基本的には、ポリトープがサプライチェーン管理構成のパラメーターの「将来のシナリオ」をモデル化できるという考え方です。不確実性モデル/推定（または「エラー」）は、ポリトープの体積に比例すると見なされます。スライド3,4を参照してください。これにより、次のことが可能になります。

• 不確実性の定量的推定
• 同等の情報の生成
• what-if分析に役立ちます

いくつかのオンライン調査で、別の角度が明らかになりました。Birkoff多面体 $B_n$ 多くの深い理論的特性を持ち、例えばグラフ上の完全なマッチングに関連しますが、それのボリューム計算は低い場合でも非常に困難です $n$例えば、ベックとピクストンによるこの研究のように。比較的最近の論文がBirkoffポリトープ計算に基づいたグラフの複雑さの尺度を提案しているという点で、より直接的/顕著なTCS接続が生じます。

ビルコフポリトープ、ヒートカーネル、グラフの複雑さ（フランシスコエスコラーノ、エドウィンR.ハンコック、ミゲルA.ロザノ、2008年）