重み付きXOR-SAT NPは難しいですか？
与えられた んnn ブール変数 バツ1、… 、バツんx1,…,xnx_1,\ldots,x_n それぞれに正のコストが割り当てられています c1、… 、cん∈Z> 0c1,…,cn∈Z>0c_1,\ldots,c_n\in\mathbb{Z}_{>0} とブール関数 fff 次の形式で与えられた変数について f(x1,…,xn)=⋀i=1k⨁j=1lixrijf(x1,…,xn)=⋀i=1k⨁j=1lixrijf(x_1,\ldots,x_n)=\bigwedge_{i=1}^k\bigoplus_{j=1}^{l_i}x_{r_{ij}} （⊕⊕\oplus XORを示す） k∈Z>0k∈Z>0k\in\mathbb{Z}_{>0}、整数 1≤li≤n1≤li≤n1\leq l_i\leq n そして 1≤ri1<⋯<rili≤n1≤ri1<⋯<rili≤n1\leq r_{i1}<\cdots<r_{il_i}\leq n すべてのために i=1,…,ki=1,…,ki=1,\ldots,k、 j=1,…,lij=1,…,lij=1,\ldots,l_i、問題はの最小コストの割り当てを見つけることです x1,…,xnx1,…,xnx_1,\ldots,x_n それは満たす fff、そのような割り当てが存在する場合。割り当てのコストは、単純に ∑i∈{1,…,n}xitrueci.∑i∈{1,…,n}xitrueci.\sum_{\substack{i\in\{1,\ldots,n\}\\x_i\,\text{true}}}c_i. この問題はNP困難ですか、つまり、付随する決定問題ですか？「コストに十分な値が割り当てられていますか？ KKK「NP難しい？ ここで、標準のXOR-SAT問題はPにあります。これは、線形方程式系の可解性の問題に直接マッピングされるためです。 F2F2\mathbb{F}_2（たとえば、https：//en.wikipedia.org/wiki/Boolean_satisfiability_problem#XOR-satisfiabilityを参照してください）。このソリューションの結果（存在する場合）は、次のアフィン部分空間です。Fn2F2n\mathbb{F}_2^n。したがって、問題は、その部分空間から最小のコストで対応する要素を選択するために削減されます。悲しいかな、その部分空間はかなり大きく、実際、fff バイナリで k×nk×nk\times n-行列形式、 111 それぞれに xrijxrijx_{r_{ij}} で iii-行と rijrijr_{ij}-番目の列、それ以外の場合はゼロ、コストの最小化の問題が発生します Ax=1,Ax=1,Ax=1, どこ AAA マトリックスとは xxx で構成される列ベクトルです x1,…,xnx1,…,xnx_1,\ldots,x_n …