最小カーディナリティのホール違反者を見つける

二部グラフを考えると完璧なマッチングが存在しないような、私は最小カーディナリティセット、ホールの条件に違反した最小のサブセット、すなわちを見つけたい 用。$(X,Y，E)$$S \subseteq X$$|N(S)|<|S|$

この問題は、ホールの条件に違反する2部グラフでサブセットを見つけるという前の質問の最適化バージョンであり、このようなを見つけるための多項式時間アルゴリズムが存在することがわかります。最適化問題の多項式アルゴリズムはありますか？$S \subseteq X$

これは答えではありません-長いメモです。

問題は、片側の重なりが最小の頂点の最小カバーの問題に関連しています。サイズ最小頂点カバーがます。ケーニッヒの定理により、は最大マッチングのサイズにも等しく、ます。$C$$m$$m$$m < n$

以来頂点被覆である、ではないのいずれかの頂点内のすべての隣人を持っている必要があります。したがって、です。したがって： なので、はホール違反者です。さて、もし大きく、その後、小さいです。$C$$C$$C$$N(X\setminus C)\subseteq Y\cap C$

ただし、を最大化するを見つけると、最小のホール違反が発生するかどうかはわかりません。$C$$X\cap C$

tl; dr：この証拠に、閉じることができなかったという重大なギャップが見つかりました。次のいずれかの場合に備えて、この回答は残しておきます。a）修正方法を理解するか、b）他の誰かが修正方法を理解するように促します。

ましょう完全一致せずに二部グラフです。場合、サブセットは不十分であると言います。私たちは最小の欠陥のあるサブセットを探しています。一般的なアプローチは、特徴付ける（および発見）により電位最小値、欠損セットを識別するために、すべてのミニなりMALすなわち、欠損セット：欠損組全く欠損サブセットが含まれていないこと。これらの最小限の欠陥セットの特性についていくつか観察してみましょう。$G = (X \cup Y, E)$$S$$|N(S)| \lt |S|$$X$$S\subset X$

観察1：サブセットは、すべて iffの最小の欠落サブセットであり、セットは完全に一致します。これはホールの定理です。$S$$X$$s \in S$$S\setminus \{s\}$$G$

観察2：が最小欠損サブセットである場合、すべてのについて、はからへのパスが存在します。そうでない場合、を2つ（またはそれ以上）のコンポーネントに分解する可能性があり、そのうちの少なくとも1つが不足している必要があるため、最小性に矛盾します。$S$$X$$s_1, s_2 \in S$$G$$s_1$$s_2$$S$

ここで、修正しましょう最大マッチングです。ましょとにマッチしている頂点もとletで比類のない頂点のサブセットである。任意のサブセットのためのの、我々はまた示します内の頂点の集合としてから到達を介して -alternatingパス。$M$$G$$X' \subset X$$Y' \subset Y$$M$$U = X\setminus X'$$X$$S$$X$$m(S)$$G$$S$$M$

で答え我々が取る場合、OPにリンクの質問に、私たちは証拠を見ているそして不十分です。その証拠を注意深く読み、それがためだけではなく機能することを明らかにが、任意のサブセット。すなわち、我々は任意のサブセット取る場合、と言うことである、次いで、欠損サブセットである。特に、をシングルトンセットにする場合があります。について、定義しましょう。$S = U \cup (m(U) \cap X)$$S$$U$$U$$U_1 \subseteq U$$U_1 \cup (m(U_1) \cap X)$$X$$U_1$$u \in U$$D_u = \{u\} \cup (m(\{u\}) \cap X)$

補題1：は、すべての最小限の欠乏セットです。$D_u$$u \in U$

証明：以前に参照した回答で与えられた証明により、が不足していることはです。ことを示すために最小WRT欠乏症である、我々は観察の単なるサブセットである、したがって内部のそれのための完璧な一致が存在する（だけの制限取るに）。他のため、我々は、以下のから-alternating経路にこのパスに沿ってすべてのエッジを反転、および完全一致得るで$D_u$$D_u$$D_u \setminus \{u\}$$X'$$G$$M$$D_u\setminus \{u\}$$y \in D_u$$M$$y$$u$$D_u \setminus \{y\}$$G$。したがって、Observation 1によって、は最小限の欠陥セットです。$D_u$$\square$

さて、最小限で欠陥のあるサブセットの1つのコレクションを特定したので、質問する必要があります。$X$

小さな構造を追加するために、任意のセットがであり、、およびと。つまり、をない部分（）、代替パスを介してから到達可能な部分（）、および代替パスを介してから到達できない部分（）に分割します。次の場合に観察するのは簡単です$S \subseteq X$$S = U_1 \cup Z_1 \cup Z_2$$U_1 \subseteq U$$Z_1 \subseteq m(U_1)$$Z_2 \subseteq X' \setminus m(U_1)$$S$$M$$U_1$$U_1$$M$$Z_1$$U_1$$M$$Z_2$$S$ 欠陥のあるセットであり、 $U_1$ 空でない必要があります。

補題1を介して、 $Z_1 = m(U_1)$ そして $Z_2$空です。これにより、検討すべき3つのケースが残ります。

1. $Z_2$ 空ではない
2. $|U_1| > 1$ そして $Z_1 \subsetneq m(U_1)$
3. $Z_1$とは両方とも空です（つまり、）。$Z_2$$S \subseteq U$

補題2：がである場合、は最小の欠陥サブセットではありません。$S = U_1 \cup Z_1 \cup Z_2 \subseteq X$$Z_2 \neq \emptyset$$S$$X$

証明：をと一致するの要素とします。定義により、からからへのエッジはません。これは、から頂点への代替パスを意味するため。$M(Z_2)$$Y$$Z_2$$M$$U_1$$Z_1$$M(Z_2)$$M$$U_1$$Z_2$

場合、最小限、欠損セットで、その後のすべてのサブセット完全に一致しています。特に、は完全に一致しています。たとえばです。以前の観察では、この完全に一致するは頂点も使用していません。したがって、使用して形成されたマッチング一致させるためにと一致させるためにのための完全な一致であると仮定矛盾、欠損しています。 $S$$S$$U_1 \cup Z_1$$M_1$$M_1$$M(Z_2)$$M_1$$U_1 \cup Z_1$$M$$Z_2$$S$$S$$\square$

この回答の以前のバージョンでは、補題1の証明中に何らかの方法でカバーされたと想定して、ケース2）を無視しましたが、これは当てはまりません。ように見えない最小限の欠陥セットが存在する可能性があります。次の図は、そのような例を示しています。太字のエッジを一致する、は最小限の欠損セットであり、の形式ではないことがます。ケース2に該当する最小限の欠陥セットの効果的な特性を見つけることができていないため、現在、この証明を完了することができません。$D_u$$M$$S = \{A, B, C\}$$D_u$