制約付き二次最大化の硬度

次の2次の最大化を考えます。 with ここで、は正の半定行列、はスパース性パラメーターです。この問題は、max-clique問題からの削減により、NP困難です。

max x \in X x T A x

$\begin{align} \max_{\mathbf{x} \in \mathcal{X}} &\quad\mathbf{x}^{T}\mathbf{A}\mathbf{x} \end{align}$

X = {x \in R n : ∥ x ∥ 2 = 1, ∥ x ∥ 0 \leq k},

$\begin{align} \mathcal{X} = \lbrace \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n} :~ \|\mathbf{x}\|_{2}=1, \|\mathbf{x}\|_{0}\le k \rbrace, \end{align}$

A $\mathbf{A}$

k≤n $k \le n$

追加の構造を課すことで得られる同様の問題に興味があり $\mathcal{X}$ ます。特に、の $n$ 変数が互いに素なグループに分割されていると仮定します。実行可能なセットを、グループごとに1つのアクティブ変数を持つ単位長ベクトル制限します。つまり、はスパースベクトルが含まれていますが、サポートは任意ではありません。これには、グループごとに（最大で）1つのゼロ以外のエントリが含まれます。 $\mathbf{x}$ $k$ $\mathbf{x}$ $\mathcal{X}$ $k$ $k$

修正された問題の実行可能なセットは、以前の最大化のサブセットですが、実行可能なサポートの数は、変数の数で指数関数的になる可能性があることに注意してください $n$ （適切に選択された $k$ ）。

修正された問題もNP困難であると思います。それを示す（または反証する）方法についてのアイデアはありますか？直感を共有してください。

complexity-theory optimization np-hard

— メガ
ソース

半明確性の要件がない場合、これは独立セットからの削減によりNP困難になります。たとえば、が個の頂点を持つグラフであるとします。使用して、問題のインスタンスを構築し変数とグループ、頂点ごとに1グループの。のグループの最初の変数を1に設定することは、を独立セットに追加することに似ています。2番目の変数の設定は、セットにを追加しないようなものです。これで、両方がセットに含まれるようのエッジの数を最小化する行列を形成できます。しかし、この意志

G $G$

N $N$

2N $2N$

N $N$

v $v$

G $G$

v $v$

A $A$

(v,w)∈E $(v,w) \in E$

v,w $v,w$

A $A$ 半ば確定ですか？知りません。

— DW

@DW、隣接行列のラプラシアンを使用できますか？は常に正の半定値です。

L $L$

— Nicholas Mancuso

@NicholasMancuso、わからない！面白いアイデア。

— DW

唯一の問題が引数が正の半定値（PSD）ではない（は対称のみである）場合は、問題ありません。常に最大化を解くことができます。提案されたアプローチを見て、お知らせします！

A $\mathbf{A}$

A+|λmin(A)|⋅I $\mathbf{A}+|\lambda_{min}(\mathbf{A})| \cdot \mathbf{I}$

— メガ

このアプローチを自分の問題に適応させる方法を見るのに問題があります。私にとって、はバイナリではありません。これは単位ノルムの実数ベクトルであり、負のエントリも許可されているため、設計が困難になります。明白なものがない場合を除いて、しかし、私は変数の考え方が。私はそれに基づいて何かを理解できるかどうか考え続けます。

x $\mathbf{x}$

A $\mathbf{A}$

2N $2N$

— メガ

（私の質問に対する答えが見つかったので、ここでスケッチを共有しています）。

次の最大化は、次の問題からの削減により、NP困難であることが示されます。

-partiteグラフ与えられると、は -cliqueを含みますか。 $k$ $G=(V_{1}, \dots, V_{k}, E)$ $G$ $k$

後者の問題は、グラフの特定のファミリーに制限されたmax-clique問題の（一見）特殊なケースであることに注意してください。ただし、一般的なmax-clique問題自体（ここを参照）からの削減により、これもNP完全であることを示すことができます。

しましょう $\mathbf{A}$ の隣接行列を表す $G$ 。しましょう $S$ の任意のセットであること $k$ 頂点と $\mathbf{A}_{S}$ に対応する主な部分行列を表す $S$ 、すなわち $\mathbf{A}_{S}$ それは $k\times k$ によって引き起こされるグラフの隣接性 $S$ 。頂点が $S$ フォーム $k$ -クリーク $G$ 、次にすべての非対角のエントリ $\mathbf{A}_{S}$ 等しい $1$ 、およびその主要な固有値 $\lambda_{1}(\mathbf{A}_{S}) = k-1$ 。それ以外の場合、つまり $S$ ではない $k$ -その後、クリーク $\lambda_{1}(\mathbf{A}_{S}) < k-1$ 。最後に、 $G$ です $k$ -partite、a $k$ -clique（存在する場合）には、各セットの単一の頂点が含まれます $V_{i}$ 、 $i=1,\dots,k$ 。

しましょう $\mathbf{A}^{\prime} = \mathbf{A} + |\lambda_{n}(\mathbf{A})|\cdot\mathbf{I}$ 、どこ $\lambda_{n}(\mathbf{A})$ は最小の固有値です $\mathbf{A}$ ; $\mathbf{A}^{\prime}$ PSD行列です。さらに、考慮 $k$ セットに対応する変数のばらばらなグループ $V_{1}, \dots, V_{k}$ の $G$ 。入力で二次最大化を解く $\mathbf{A}^{\prime}$ および指定された変数のグループ。最大目標値は次と等しくなります $k-1 + |\lambda_{n}(\mathbf{A})|$ もしそうなら $G$ 含む $k$ -クリーク。

— メガ
ソース