重み付きXOR-SAT NPは難しいですか？

与えられた $n$ ブール変数 $x_1,\ldots,x_n$ それぞれに正のコストが割り当てられています $c_1,\ldots,c_n\in\mathbb{Z}_{>0}$ とブール関数 $f$ 次の形式で与えられた変数について

$$f(x_1,\ldots,x_n)=\bigwedge_{i=1}^k\bigoplus_{j=1}^{l_i}x_{r_{ij}}$$ （$\oplus$ XORを示す） $k\in\mathbb{Z}_{>0}$、整数 $1\leq l_i\leq n$ そして $1\leq r_{i1}<\cdots<r_{il_i}\leq n$ すべてのために $i=1,\ldots,k$、 $j=1,\ldots,l_i$、問題はの最小コストの割り当てを見つけることです $x_1,\ldots,x_n$ それは満たす $f$、そのような割り当てが存在する場合。割り当てのコストは、単純に $$\sum_{\substack{i\in\{1,\ldots,n\}\\x_i\,\text{true}}}c_i.$$ この問題はNP困難ですか、つまり、付随する決定問題ですか？「コストに十分な値が割り当てられていますか？ $K$「NP難しい？

ここで、標準のXOR-SAT問題はPにあります。これは、線形方程式系の可解性の問題に直接マッピングされるためです。 $\mathbb{F}_2$（たとえば、https：//en.wikipedia.org/wiki/Boolean_satisfiability_problem#XOR-satisfiabilityを参照してください）。このソリューションの結果（存在する場合）は、次のアフィン部分空間です。$\mathbb{F}_2^n$。したがって、問題は、その部分空間から最小のコストで対応する要素を選択するために削減されます。悲しいかな、その部分空間はかなり大きく、実際、$f$ バイナリで $k\times n$-行列形式、 $1$ それぞれに $x_{r_{ij}}$ で $i$-行と $r_{ij}$-番目の列、それ以外の場合はゼロ、コストの最小化の問題が発生します

$$Ax=1,$$ どこ $A$ マトリックスとは $x$ で構成される列ベクトルです $x_1,\ldots,x_n$ そして $1$すべて1のベクトルです。これは、一般にNP困難であることが知られているバイナリ線形計画問題の例です。問題は、この特定のインスタンスでもNPが難しいのかということです。

Berlekamp、McEliece、van Tilborgの古典的な結果は、次の問題である最尤復号はNP完全であることを示しています。$A$ そしてベクトル $b$ 以上 $\mathbb{F}_2$、および整数 $w$、解決策があるかどうかを判断します $Ax = b$ 最大でハミングウェイト $w$。

この問題を自分の問題に減らすことができます。システム$Ax = b$ 次の形式の方程式の論理積に相当します $x_{i_1} \oplus \cdots \oplus x_{i_m} = \beta$。もし$\beta = 1$、この方程式はすでに正しい形式です。もし$\beta = 0$ 次に、追加の変数をXORします $y$ 右側にあり、この変数を強制的に $1$ 方程式を追加する $y = 1$。重みは次のように定義します。$y$ 体重がある $0$、 そしてその $x_1$ 体重がある $1$。これで、問題の例である最尤復号の同等の定式化に到達しました。