奇妙なグラフ分割問題のNP困難性の証明

次の問題がNP困難であることを示しようとしています。

入力：整数 $e$ 、および接続された無向グラフ $G=(V,E)$ 、頂点加重グラフ

出力： パーティション $G$ 、 $G_p=(V,E_p)$ いずれかを削除して取得 $e$ からのエッジ $E$ 最大化する

$max \sum_{G_{i} \in {G_{1}, G_{2}, . . ., G_{k}}} \frac{1}{| G_{i} |} {(\sum_{v_{j} \in V_{i}} w (v_{j}))}^{2},$ $\max \sum\limits_{G_i \in \{G_1,G_2,...,G_k\}} \frac1{|G_i|}\left(\sum_{v_j \in V_i}w(v_j)\right)^{\!2},$
ここで、と要素は互いに素です。はの頂点セットで、は頂点重みです $G_p=G_1 \cup G_2 \cup \dots \cup G_k$ $G$
$V_i$ $G_i$ $w(v_j)$ $v_j$

わかりやすい英語の説明：目的を最大化するために、 $e$ エッジを削除してグラフを分割します。目的は、結果の分離したサブグラフのそれぞれについて、サブグラフの頂点の合計を計算し、その値を二乗し、カーディナリティで除算します。最後に、これをすべてのサブグラフについて合計します。

これまで、レシオカット、パーティション（グラフ以外の問題）、最大マルチカットなどのNPハード問題からの削減を試みました。また、問題の特殊なケースがNP困難（理想的ではない）であることを示すように試みました。この問題が（ほとんどのグラフ分割問題がNPハードであることに加えて）NPハードであると疑う理由は、パーティションの重みの間にカーディナリティ項とクロス項が存在するためです。入力/問題の提案があれば役に立ちます。あらゆる種類の特定のグラフに対するNPハード証明は有用でしょう。

— オプティマイザ
ソース

サブセット合計問題への削減を試みますか？

— xiamx 2014年

ようグラフの連結成分であることが意図される、ここで、満足除去エッジの集合でありますか？

G_{1}, G_{2}, \dots, G_{k}

$G_1,G_2,\ldots,G_k$

G_{p} = (V, E - R)

$G_p=(V,\:E-R)$

R \subseteq E

$R\subseteq E$

| R | = e

$\lvert R\rvert=e$

— David Eisenstat

@DW私が試しました。カーディナリティーの項で二乗よりも多くの問題を抱えています。二乗については、チェーンまたはグリッドグラフの正と負の加重エッジを交互に使用することで、解のクロスタームが消えるグラフを作成できると思います

— オプティマイザー

@DavidEisenstat yes

— オプティマイザ

@xiamx注意してください。縮小しなければならないからではない、その逆は難しい問題で、そして。

— Juho 2014年

最小 -cutの $k$ 変形である多方向カット問題を問題に減らしましょう。特に、最小3ウェイカット問題を検討してください。これは、1に等しいすべてのエッジウェイトに対してNPハードです（マルチウェイカットの複雑さを参照）。

（最小）3方向カット問題は次のとおりです：グラフと端子与えられた場合、が除去されるようなエッジ最小セットを見つけますfromは、各端子を他の端子から切断します。その決定バージョンは、が入力の一部であるエッジを削除することでを切断できるかどうかを確認することです。 $G = (V,E)$ $s_1,s_2,s_3\in V$ $E'\subseteq E$ $E'$ $E$ $s_i$ $s_1,s_2,s_3$ $w$ $w$

グラフ、端子および整数与えられた場合、3方向カット問題を「奇妙なグラフ分割問題」に還元したいと思います。端末ごとに、頂点を追加して、その近隣を隣接させます。その名前が示唆するように、は十分に大きな数です。重みがであるを除いて、すべての頂点の重みは0 です。この新しいグラフをます。ことは明らかそれをだ除去することにより、切断することができのエッジ、彼らは削除することによって切断することができる場合にだけ $G$ $s_1,s_2,s_3$ $w$ $s_i$ $N$ $N$ $s_1,s_2,s_3$ $1,10,100$ $G'$ $s_1,s_2,s_3$ $w$ $G$ $w$ エッジ。 $G'$

パーティションは、場合の切断、そのスコアはおおよそではない、又はより正確には、何未満含む一部としてせいぜいを有していません頂点。ここで、はの頂点の数です。一方、パーティションが切断に失敗した場合、そのスコアはます。十分に大きい場合、、そう $G'_p$ $G'$ $s_1,s_2,s_3$ $10101/N$

\frac{10101}{N + n}

$\frac{10101}{N+n}$

s_{i}

$s_i$

N + n

$N+n$

n

$n$

G

$G$

G_{p}^{'}

$G'_p$

s_{1}, s_{2}, s_{3}

$s_1,s_2,s_3$

\frac{10060.5}{N - w}

$\frac{10060.5}{N-w}$

N

$N$

\frac{10101}{N + n} > \frac{10060.5}{N - w}

$\frac{10101}{N+n} > \frac{10060.5}{N-w}$

G

$G$ にエッジを削除するパーティションがあり、そのスコアが少なくとも場合に限り、エッジを削除することで3ウェイパーティション化できます。

w

$w$

G^{'}

$G'$

w

$w$

\frac{10101}{N + n}

$\frac{10101}{N+n}$

— 天仁劉
ソース

@Optimizer、元の問題では、最小3方向カット、頂点に重みがありません。したがって、頂点の重みで入力を制限することはできません。一方、問題には重み付けされた頂点が含まれます。したがって、上記の証明は、ほとんどの頂点の重みが0である入力を制限しても、問題がNP完全であることを示しています。

— Tianren Liu 2014

最小kカット問題には終端がありません。あなたがそこに置いた問題のNP完全について確信がありますか？

— InformedA 2014年

@randomA、最小カット問題にはいくつかのバリアントがあります。1つのバリアントは、入力の一部として端子を含み、目標はこれらの端子を切断する最小コストカットを見つけることです。このバリアントは、私が引用した論文でマルチウェイカット問題と呼ばれています。私の答えでそれを明確にすべきです、あなたのコメントをありがとう。

k

$k$

k

$k$

k

$k$

k

$k$

— Tianren Liu 2014

@randomAこれは問題のこのバージョンの良い説明です：math.mit.edu/~goemans/18434S06/multicuts-brian.pdf

— オプティマイザー