サブセット間の要素の数がサブセットの数<=になるように、サブセットの最小のコレクションを見つけるのは難しいですか？

（は固定されていません）の空でないサブセットのコレクションが与えられた場合、問題は、サブセットの最小の空でないコレクションを見つけて、サブセットの和集合は、選択されたサブセットの数以下です。これはNPの難しい問題のようですが、証明できません。何か助けは？$\{1,2,\ldots,N\}$$N$

これはコメントには長すぎますが、実際には完全な回答ではありません。

レッツ再定式化問題二部グラフのようにわずかに設定と、 1つの頂点の集合および部分集合の集合として（言う）頂点の他のセットと、の間のエッジに及び IFF。頂点の任意のセットのためにで、定義近傍であることがでにおけるすべての頂点の、すなわち、セット-に少なくとも1つの頂点に隣接する。$G$$\{1,2,\ldots,N\} = X$$Y$$i \in X$$J \in Y$$i \in J$$W$$Y$$N(W)$$W$$G$$X$$W$

次に、問題は、ような最小サブセットを見つけるように求めます。ただし、基準を少し変更すると、、我々はとの間のマッチングが存在しない場合だけ、このようなサブセットが存在することがわかりとカバー、それはとまったく同じであるため、ホールの結婚定理。$W \subseteq Y$$|N(W)| \leq |W|$$|N(W)| \lt |W|$$X$$Y$$Y$

そのようなマッチングは多項式の時間で見つけることができるので（例：Hopcroft-Karpを介して）、このバージョンの問題はおそらく比較的簡単であると思いますが、2部構成の標準アルゴリズムかどうかとその方法を理解するために、さらに作業を行う必要がありますマッチングにより、これらの欠損セットが明らかになり、最小限の欠損セットも簡単に取得できるかどうかがわかります。さらに、問題の元のバージョン（を許可）がこの変更されたバージョンよりどれほど難しいかは、すぐにはわかりません。$|N(W)| = |W|$

クリークから減らすことができます。各頂点のセットを作成します。各n-1要素は他のn-1頂点に対応し、セットuのvの要素はセットvのuの要素と等しくなります（ただし他の要素とは等しくありません）。 {u、v}はエッジであり、それ以外の場合は一意の要素です。次に、サイズkのクリークがある場合に限り、k（nk）+ k（k-1）/ 2要素を一緒に含むk個の文字列を選択できます。次に、同じ要素を含む1要素セットの正しい数を追加するだけでよいので、選択されたセットと収集された要素の数は同じになります。