与えられたnセットのうち少なくともkの小さなスーパーセットを見つける

セットが与えられ、それらの和集合のサイズがます。与えられたセットのうち少なくともを含む小さなセットを作成します。 $n$ $m$ $k$ $n$

がある多項式よりも小さいと仮定しましょう。つまり、です。この場合、最適化問題のための効率的な（多項式）アルゴリズムがあります。 $m$ $n$ $m < P(n)$

与えられたセットのうち少なくともを含む最小のセットを見つけます。 $k$ $n$

— エザイドマン
ソース

nとmの間に何か関係がありますか？つまり、n <= mと仮定することは正しいですか？

2部グラフの支配セットはNPハードです。これは当てはまるかもしれません。

— Aryabhata

問題はNP完全です。これは、すべての変数が正確に5回出現する3SATのNP完全バージョンである3SAT-5からの削減です（したがって、変数の数と句の数は線形に関連しています）。

まず、2つのセットシステムを構築します。最初のシステムは、6つのセットと15の要素で構成され、次のプロパティがあります：セットシステムは、カバーされない要素はの形式の要素だけです。場合次いで、そのような要素がある、そうでなければ2があります。 $\mathcal{S}$ $A_0,A_1,B_0,B_1,C_0,C_1$ $D = \{0,1\}^4 \setminus (1,1,1,1)$

| A_{i} \cup B_{j} \cup C_{k} | = {\begin{cases} 14 & if i = j = k = 0, \\ 13 & otherwise . \end{cases}

$|A_i \cup B_j \cup C_k| = \begin{cases} 14 & \text{if } i=j=k=0, \\ 13 & \text{otherwise}. \end{cases}$

\begin{aligned} A_{i} & = {(a, b, c, d) \in D : a = i}, \\ B_{i} & = {(a, b, c, d) \in D : b = i}, \\ C_{i} & = {(a, b, c, d) \in D : c = i} . \end{aligned}

$\begin{align*} A_i &= \{(a,b,c,d) \in D : a = i\}, \\ B_i &= \{(a,b,c,d) \in D : b = i\}, \\ C_i &= \{(a,b,c,d) \in D : c = i\}. \end{align*}$

A_{i} \cup B_{j} \cup C_{k}

$A_i \cup B_j \cup C_k$

(1 - i, 1 - j, 1 - k, d)

$(1-i,1-j,1-k,d)$

i = j = k = 0

$i = j = k = 0$

2番目のシステムは、セットのおよび要素で構成され、次のプロパティがあります。家族を呼び出しのうちのセットを、適切な、それは正確にそれぞれの1が含まれている場合。セットのすべての適切なファミリは同じ数の要素カバーし、セットの各不適切なファミリは少なくとも要素をカバーします。 $\mathcal{T}$ $2n$ $X_1,Y_1,\ldots,X_n,Y_n$ $O(n^2)$ $n$ $\mathcal{T}$ $X_i,Y_i$ $n$ $M$ $n$ $M+1$

要素のセットは、形式以外のすべての順序なしのセットのペアで構成されます。各セットは、それを含むすべてのペアで構成されます。ましょうファミリーである補数との組、。カバーされない唯一の要素は、の形式の要素で、です。場合それほど適切次にである、などがあるの要素が覆われていません。もし $\{S,T\}$ $\{X_i,Y_i\}$ $S \in \mathcal{T}$ $2n-2$ $\mathcal{F}$ $n$ $\overline{\mathcal{F}}$ $\mathcal{F}$ $\{S,T\}$ $S,T \in \overline{\mathcal{F}}$ $\mathcal{F}$ $\overline{\mathcal{F}}$ $\binom{n}{2}$ $\mathcal{F}$ は不適切であり、も不適切であり、カバーされていない要素よりも少ない要素があります。 $\overline{\mathcal{F}}$ $\binom{n}{2}$

削減。ましょう有する3SAT-5のインスタンスである変数及び節。句ごとに、システムコピーあります。コピーもありのの各要素がで置換されたの要素が。要素の総数は多項式です。 $\phi$ $n$ $m=5n/3$ $\phi_j$ $\mathcal{S}_j$ $\mathcal{S}$ $\tilde{\mathcal{T}}$ $\mathcal{T}$ $N = 13m+1$ $n$

各変数には、と 2つのセットがあります。セットは、次の6つのセットの和集合です。 $x_i$ $X_i^0$ $X_i^1$ $X_i^0$

セットの $X_i$ $\tilde{\mathcal{T}}$
最初の位置にを含む各句について、が正の場合はのセット、それ以外の場合はセット $\phi_j$ $x_i$ $x_i$ $A_0$ $\mathcal{S}_j$ $A_1$ $\mathcal{S}_j$
2番目の位置にを含む各句に対して、または（上記）のいずれか $\phi_j$ $x_i$ $B_0$ $B_1$
3番目の位置にを含む各句に対して、または（上記のとおり） $\phi_j$ $x_i$ $C_0$ $C_1$

セットは、次の6つのセットの和集合と同様に定義されます。 $X_i^1$

セットの $Y_i$ $\tilde{\mathcal{T}}$
最初の位置にを含む各句について、が否定的に表示される場合は、のセット、それ以外の場合はセット $\phi_j$ $x_i$ $x_i$ $A_0$ $\mathcal{S}_j$ $A_1$ $\mathcal{S}_j$
2番目の位置にを含む各句に対して、または（上記）のいずれか $\phi_j$ $x_i$ $B_0$ $B_1$
3番目の位置にを含む各句に対して、または（上記のとおり） $\phi_j$ $x_i$ $C_0$ $C_1$

問題は、要素（またはそれ以下）をまとめてカバーするセットがあるかどうかを決定することです。 $n$ $13m+NM$

が満足できる場合、たとえば、真理値の割り当て場合、は、正確に要素をカバーします。逆に、最大要素をカバーする方法があるとします。解が不適切な場合、少なくとも要素をカバーします（のみを考慮）。それが適切であれば、それはいくつかの真理値の割り当て対応し、カバーされる要素の数がであることを簡単に確認できます。ここで、は改ざんされた句の数です。したがって、あり、 $\phi$ $x_i$ $\{X_i^{x_i} : 1 \leq i \leq n\}$ $13m+NM$ $13m+NM$ $N(M+1) > 13m+NM$ $\tilde{\mathcal{T}}$ $x_i$ $13m+NM+Z$ $Z$ $Z = 0$ $x_i$ 満足のいく割り当てです。

— ユヴァルフィルムス
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