タグ付けされた質問 「computability」

「Lambda Calculusの紹介」という論文を読んで、34ページ（私の斜体）で、あまり理解していない段落に出くわしました。 2つのパラダイムのそれぞれの中に、型付きラムダ計算のいくつかのバージョンがあります。多くの重要なシステム、特に教会のシステムでは、タイプを持つ用語が常に正規形を持っている場合がそうです。停止の問題が解決できないことから、これはすべての計算可能な関数が型付きの用語で表現できるわけではないことを意味します。Barendregt（1990）、定理4.2.15を参照してください。表現できない計算可能な関数を見つけるためには、頭の上に立つ必要があるため、これは見かけほど悪くはありません。たとえば、2では、2次の型付きラムダ計算では、たまたま合計である部分的な再帰関数しか表現できませんが、数学的分析（2次の算術）ではそうではありません。 私はこれらの概念のほとんどに精通していますが、部分的な再帰関数の概念や、証明可能な完全な関数の概念には精通していません。しかし、これは私が学習に興味があるものではありません。 特定の計算可能な関数を型付きの用語で表すことができない理由、およびそのような関数が「頭の上に立って」しか見つからない理由についての簡単な説明を探しています。

8 computability  logic  lambda-calculus  type-theory 

ゲーデルは、彼のSystem Tプリミティブ再帰でより高い型を定義しています。私はGirardからのメモを見つけました。彼は、単純に型指定されたラムダ計算に加えてSystem Tの実装を説明しています。50ページで、リカーサーでより多くの型を使用すると、システムでより表現力が高まると述べています。 これがどのように発生するのか正確にはわかりません。より高次のプリミティブ再帰を伴う一種のアッカーマン階層を考案することは可能ですか？つまり、各関数はSystem Tで表現可能ですが対角線は表現できない、より速く成長する関数の階層ですか？私はそう思うが、その構造は私には明らかではないようであり、どのようにそれを構築するか、または文献へのポインタを受け取るかについて興味がある。 私は何か具体的なものを求めています。Tにない関数の存在を証明する一般的な対角引数は知っていますが、実際に「型階層にステップアップ」する方法を確認したいと思います。

8 computability  lambda-calculus  recursion  type-theory 

私の理解では、チューリング完了とは、プログラムまたはマシンがチューリングマシンが実行できるすべての計算を実行できることを意味します。では、どうすればHTMLやPowerPointのようなものが完全にチューリングできるのでしょうか。

8 computability  turing-completeness 

ライスの定理の意味を理解するたびに、自分を混乱させる反例を見つけます。多分誰かが私が間違っていると思っているところを教えてくれるかもしれません。 計算可能な関数のセットのいくつかの重要なプロパティを取りましょう。たとえば、。明らかに、可算無限であると計算機能の可算無限の数ではありませんでもあります。L = { f：N → N|fは計算可能な合計関数です}L={f：N→N|fは計算可能な合計関数です}L = \{ f : \mathbb{N} \to \mathbb{N} \;|\; \text{f is a computable and total function} \}LLLLLL 今命令の有限集合のオーバーチューリング完全なプログラミング言語考えることができますと構文的に正しいプログラムのセットと、。私の言語のセマンティクスを好きなように選択できる場合は、プログラムに自由に番号を付けることもできます。そのため、プログラムの一部が計算可能な関数の任意の一部を正確に計算するようなプログラミング言語を設計できるはずです。カーディナリティが一致する限り。たとえば、であり、各プログラムは合計関数を計算します。以降 、そのような言語が存在する必要があります。ΣΣ\SigmaP⊆Σ∗P⊆Σ∗P \subseteq \Sigma^*| P| = | N ||P|=|N||P| = |\mathbb{N}|Pp a l= { W ∈Σ∗|w は回文です}Ppal={w∈Σ∗|w 回文です}P_{pal} = \{ w \in \Sigma^* \;|\; w\text{ is a …

8 computability  undecidability 

してみましょうL={<M>|ML={<M>|ML = \{ | Mはすべての入力xxxで最大200 * | x |で停止します 200∗|x|200∗|x|200 * |x|手順}}\}。 あるLLL決定可能では？認識できる？ メンバーシップことを考えると何かについて主張する列の無限集合上での行動を、その私には非常に考えにくいどちらかである可能性があります。私はコことが示されているあなたは、各テストの列挙子加えることができます（私は思う）チューリング認識可能である各して放出する、それはいくつか受け入れない場合は中を最大ステップ。LLLMMMLLLLLLM1,M2,…,M1,M2,…,M_1, M_2, \dots, s1,s2,…s1,s2,…s_1, s_2, \dotsMMMsss200|x|200|x|200|x| 共のでLLLのいずれかで、認識可能であるLLL認識できない、またはそれが決定可能です。LLLが決定可能だとは思えない。ただし、それは停止問題に完全に還元することはできません。また、ライスの定理を適用することもできません（問題の品質は特定のステップ数で停止する品質であるため、それを決定できても他の決定はできません。任意のプロパティ）。 それが解決する唯一の問題は、文字列の無限のセットで実行する必要がある問題であるため、LLLが認識できない何かを認識させることを示すことが、最良の方法になると私には思われます。しかし、私はこれが何であるかを考えることができません。おそらくco-HALTが機能すると思いましたが、TMがある入力で停止しないことを証明することはできません。 行き詰まっています。私はどの方向に行くべきですか？

8 computability  turing-machines  undecidability  decision-problem 

それらが異なる場合、他のカテゴリに該当しないそれぞれの典型的な問題は何ですか？または、相互に排他的ですか、または一方がもう一方を完全にキャプチャしますか？

8 computability  terminology 

無限に多くの再帰的なセットの交差点（各セットが異なる場合）は再帰的ですか？再帰的に列挙可能ですか？要素がセット内にある場合を決めるので、私は、ない労働組合の必要性を再帰的に知っているあなたが決定する必要があります各要素のためにあなた以来、停止問題の決定と同じである場合に機能することを計算の場合いくつかのために 終了します。⋂iUi⋂iUi\bigcap_{i}U_{i}UiUiU_ix∈Uix∈Uix \in U_iiii

7 computability  sets 

特定の言語が再帰的でないことを示すために使用される削減の方向と、少し混乱していることに気づきました。たとえば、停止問題（）を決定できないかどうかを判断したいとします。私はそれが決定可能であると仮定して、受け入れ問題のための決定者を構築しようとすることができることを知っています、それは不可能です。しかし、受け入れ問題（）を使用して停止問題の決定可能性を解決するのに役立てていますが、受け入れ問題を停止問題に減らしました。HALTTMHALTTMHALT_{TM}ATMATMA_{TM} 削減を展開するように要求する質問に出くわすと、少し混乱することがあります。私は言語をに減らすように求められますが、それは、が問題のより単純なインスタンスであることを意味します（または少なくともそうする必要があります）？問題の単純なバージョンを問題のより複雑なバージョンに削減するのは不可能だと思いますが、私はそれを信じていますか？ xxxyyyyyyxxx

7 computability  turing-machines  reductions  halting-problem 

チューリング度の中でフォームの度である、例えば、、などは、0n0n0^n0000′0′0'0′′0″0'' 完全を期すために、これをすばやく証明します。うまくいけば、この短い証明では誰も気にしないでしょう： 補題：自然数のカウント可能なセットのセットは、それぞれの元のセットをチューリングマシンでデコードできるように、自然数の単一セットとしてエンコードできます。 証明：SSSセットのセットとすると、各Sん∈ SSん∈SS_n \in Sは自然数のセットになります。O = \ {k \ cdot 2 ^ {n + 1}-2 ^ n |を定義します k \ in S_n \}O = { K ⋅2n + 1−2ん| K∈Sん}O={k⋅2ん+1−2ん|k∈Sん}O = \{k \cdot 2^{n+1} - 2^n | k \in S_n \}。 したがって、Sん= { k | K ⋅2n + …

7 computability  turing-machines 

私はラムダ計算の意味論的意味について読みやすい文書を書いているところです。そのために、CPO、単調性、連続性を紹介します。CPOはセットですMMM 半順序で ≤≤\leqおよび下部要素必要、における最小要素であると上限以上の存在（毎鎖用）で。関数 2のCPOの間に、すべてのための場合は、単調である以下が成り立ちます。⊥⊥\bot⊥⊥\botMMM⨆⨆\bigsqcupd0≤d1≤d2≤...d0≤d1≤d2≤...d_0 \leq d_1 \leq d_2 \leq ...MMMfffMMMNNNa,b∈Ma,b∈Ma, b \in M a≤b⟹f(a)≤f(b)a≤b⟹f(a)≤f(b)a \leq b \implies f(a) \leq f(b) 関数 2のCPOの間で、それが単調であり、すべてのチェーンのためならば、連続している、我々が持っていますfffMMMNNNd0≤d1≤d2≤…d0≤d1≤d2≤…d_0 \leq d_1 \leq d_2 \leq \dots f(⨆i∈Ndi)=⨆i∈Nf(di).f(⨆i∈Ndi)=⨆i∈Nf(di).f(\bigsqcup_{i \in \mathbb{N}} d_i) = \bigsqcup_{i \in \mathbb{N}} f(d_i). これらの定義の意味について読者に良い直感を与えたいと思います。ただし、書き留めることができるものはありません。彼の本»言語«（1993）プログラミングの正式な意味でのグリン・ウィンスケルに続き、として読まれなければなら近いを意味し、（ページ72）できるだけ多くの情報として、少なくとも持っています。これにより、出力に関する詳細情報（122ページ）に入力に関する詳細情報を反映する単調関数になります。これは私には幾分理解できます。ただし、継続性の説明は私には明確ではありません。a≤ba≤ba \leq baaabbbbbbaaa 後で説明するように、計算可能な関数は、計算可能な関数の出力における情報の単位の出現は、入力における有限数の情報の単位の存在にのみ依存するべきであるという考えに従って、連続でなければなりません。 （73ページ） これは、セクション8.2（121〜123ページ）のストリームの例、またはこの回答を読んだ後でも、まだわかりません。 だから私の最後の質問は、計算可能な関数が連続的であることを読者にどのように納得させるのですか？なぜありません何で計算機能ではない連続は？ 計算能力や固定小数点理論の厳密な導入を必要としない答え/例を提供していただければ幸いです。私はそれらに集中したくないからです。また、ラムダ計算とその意味論的な意味論を事前に知る必要がない場合は、それらの前に単調性と連続性を導入する必要があるので（そうしなければならないので）、すばらしいでしょう。 編集：計算可能というのは、チューリング計算可能という意味です。Winskelsの計算可能ページ337ページの定義を誤解している場合は、訂正してください。これは、チューリング計算可能として明示的に定義されているわけではなく、同等の方法で（少なくとも私の目では）です。 また、私の問題を説明しようとしている別の情報源を指摘したいと思います。しかし、それでもWinskelからのストリームの例と基本的に同じであるため、その例はわかりません。 編集2：それはまた、すべての計算可能な関数が単調であること、つまり非単調な計算可能な関数が存在しないことを示すために私が問題を理解するのを助けるのに良いスタートです。

7 computability  denotational-semantics 

これは停止問題と半決定可能性について知られていることです：- 停止問題は、与えられた入力xとマシンHについて、マシンHが入力xで停止するかどうかを判断できないことを示しています。 単語がその言語に属している場合（YESの場合）に停止し、その単語がその言語に属していない場合（NOの場合）に拒否または無限ループに入るチューリングマシンが存在する場合、言語は半決定可能であると言われます。 現在、停止問題では、入力が言語に属していても（YESの場合）、マシンが停止するかどうかはわかりません。それでは、それはどのように半決定可能ですか？私はそれが非再帰的に列挙可能または決定不可能であるべきだと思います。

7 computability  turing-machines  halting-problem  semi-decidability 

停止問題は算術階層の第1レベルにあることがわかっています。全体性問題は算術階層の第2レベルにあることがわかっています。算術階層の3番目（またはそれ以上）のレベルの問題のいくつかの例は何ですか。+1は、インスタンスが実際の世界で解決される問題（プログラマー、数学者など）の場合。

7 computability  reference-request 

そう、 あ⩽メートルBA⩽mB A\leqslant_mB （1削減に相当）は、チューリング計算可能な関数f so f（A）\ subseteq Bおよびf（\ overline {A}）\ subseteq \ overline {B}が存在する場合、言語を言語Bに削減できることを意味します。あAABBBffff（A ）⊆ Bf(A)⊆B f(A) \subseteq Bf（あ¯¯¯¯）⊆B¯¯¯¯f(A¯)⊆B¯ f(\overline{A}) \subseteq \overline{B} あ⩽TBA⩽TB A\leqslant_TB （還元性をチューリング）言語のことを意味しあAA、言語にチューリング低減することができるBBBオラクル機が存在する場合にOBOBO^Bを決定あAA。 私はそれらの両方を個別に取得するのですが、なぜ⩽メートル⩽m \leqslant_m が\ leqslant_Tを意味するのかわかりません⩽T⩽T \leqslant_T 。

7 computability  reductions 

2つの基本的な再帰関数が与えられた場合、それらが同じ関数であるかどうかは決定可能ですか？たとえば、プリミティブな再帰的なソートアルゴリズムAとBを考えてみましょう。ソートのアルゴリズムはたくさんありますが、それらはすべて同じ関係を表しています。AとBの2つのプリミティブな再帰的な実装が与えられた場合、それらは同じ機能を表すことが証明できますか？この質問は無制限の再帰についてではなく、チューリングマシンのプロパティによって制限されないことに注意してください。 停止する2つの関数があり、有限ドメインがある場合、可能なすべての入力を試し、各関数の出力を比較できるため、それらが同じ関数であることが証明できることを知っています。私が混乱しているのは、それらが有限ではないため、自然数と言っているものを扱うときです。 これがプリミティブな再帰関数で決定できない場合、たとえば基本的な再帰関数などの弱いクラスが可能です。これは、有限状態機械や確定的プッシュダウンオートマトンなどの弱いものでも可能であることも知っています。ありがとう。

7 computability  decision-problem  primitive-recursion 

この質問が以前に尋ねられたことをお詫びしますが、重複を見つけることができませんでした。 The Annotated Turingを読み終えたばかりで、少し混乱しています。 私の理解から、Entscheidungsproblemは、ステートメントが証明可能かどうかを判断できるアルゴリズムが存在するかどうかです。この論文では、チューリングは証明可能なすべての公式を証明するKマシンを定義しています。これはほとんど問題の解決策のようですが、後でチューリングは書いています： ゲーデルが示したことの否定が証明された場合、つまり、各Aについて、Aまたは-Aのいずれかが証明可能な場合、我々はEntscheidungsproblemの即時解を持つ必要があります。証明可能なすべての公式を連続して証明するマシンKを発明できるからです。遅かれ早かれ、KはAまたは-Aに到達します。Aに達した場合、Aが証明可能であることがわかります。-Aに達した場合、 Kは一貫しているため（ヒルベルトとアッカーマン、p.65）、Aは証明できないことがわかります。 ゲーデルの定理は、一部のステートメントは真実であるが証明できないことを示しました。私が理解していないことは、ゲーデルの結果がチューリングのKマシンがEntscheidungsproblemのソリューションになるのをどのように妨げているかだと思います。それは、Kマシンが決して遭遇しないいくつかの式があるのと同じくらい簡単ですか？それで、それは永遠に実行し続け、その式が証明不可能であると決して結論付けません。

7 computability  turing-machines  logic  decision-problem  incompleteness