削減の「方向性」？

特定の言語が再帰的でないことを示すために使用される削減の方向と、少し混乱していることに気づきました。たとえば、停止問題（）を決定できないかどうかを判断したいとします。私はそれが決定可能であると仮定して、受け入れ問題のための決定者を構築しようとすることができることを知っています、それは不可能です。しかし、受け入れ問題（）を使用して停止問題の決定可能性を解決するのに役立てていますが、受け入れ問題を停止問題に減らしました。$HALT_{TM}$$A_{TM}$

削減を展開するように要求する質問に出くわすと、少し混乱することがあります。私は言語をに減らすように求められますが、それは、が問題のより単純なインスタンスであることを意味します（または少なくともそうする必要があります）？問題の単純なバージョンを問題のより複雑なバージョンに削減するのは不可能だと思いますが、私はそれを信じていますか？ $x$$y$$y$$x$

心配しないでください–削減の方向に誰もが混乱します。何十年もの間アルゴリズムと複雑さで働いてきた人々でさえ、時々、「待って、私たちはから またはからへと減らすことになってい か？」瞬間。$A$$B$$B$$A$

を 減らすと、「解くことができれば、を解く方法もわかります  」という形式のステートメントが生成され  ます。この意味での「解く」とは、「任意のチューリングマシンを使用して計算する」、「多項式時間で計算する」、またはコンテキストに必要なソリューションの他の概念を意味します。$A$$B$$B$$A$

「が減少する」は、を解くことは少なくともを解くと同じくらい難しい  ことを意味  するため  、これは直観に反するように見えるかもしれません。ただし、解決する必要のある問題の数を減らすと考えることができます。一日の始めに、あなたの目標がのアルゴリズムと アルゴリズムを見つけることであったと想像してください  。さて、あなたはからへの  削減を見つけたので、あなたは目標をアルゴリズムを見つけるだけに減らしました  。$A$$B$$B$$A$$A$$B$$A$$B$$B$

いいえがに減少するとき、それは直感的にはがよりも単純であり、逆ではないことを意味します。$A$$B$$A$$B$

より実際的にをチェックするとします。何らかの方法でそれを行う代わりに、いくつかの（簡約）関数に従ってを変換します。ここでをチェックする必要があります。$x \in A$$x$$y=f(x)$$y \in B$

最初の問題はまだ解決していません。、解決する別の問題が残っているためです。これは、最初の問題を別の問題に減らしたことを意味します。$x \in A$$y \in B$

簡単なことをより複雑なものに減らすことは、最初は直観に反するように思えるかもしれません。実際、実用的、なぜ1は、簡単な作業で解決したいはずです軽減難しいタスクに自分自身を？代わりに、タスクをさらに簡単なタスクに減らしませんか？

ただし、真実は次のとおりです。ハードタスク解決して簡単なタスク場合、これはがよりも実際に難しいことではないことを意味します。実際、リダクション関数を適用してを解いてから「より簡単な」解くことができる場合、そもそもがよりも簡単だったことを意味します。$A$$B$$A$$B$$A$$B$$A$$B$

A からへの削減は、を実行ために必要な作業の一部を実行ものであり、実行する必要があるのはです。たとえば、「食材を手に入れる」ことで「食べ物を手に入れる」ことを「料理する」に減らすことができます。これは、「料理」は「食べ物を得る」よりも難しいことを意味します。「料理」できる人は誰でも「食べ物を得る」ことができます（たとえば、「無料で食材を入手する」という場所がある場合、「食材を入手する」という削減が常に機能するとします） 。$A$$B$$A$$B$

物事を描くことはそれらを理解しやすくする傾向があります：

青いボックス（入力を受け取り、かどうかを決定するアルゴリズムを表す）を作成します。次に、削減は赤いボックスであり、それを取得したら、青いボックスを作成するために残っている唯一のことは、緑のボックスを作成することです。したがって、赤いボックス（を減らす）がある場合、緑のボックス（を決定する）の構築は、青いボックス（を決定）の構築と少なくとも同じくらい困難です。緑色のボックスがある場合、それは非常に簡単です。青いボックスを作成する場合、青いボックスを作成すると、緑のボックスを作成できない場合があります。$x$$x\in A$$A$$B$$B$$A$

この図には、縮約を定義する2つの条件の理由が示されていることに注意してくださいが計算可能であることは、赤いボックスを作成できることを意味し、は、右端の2本のワイヤを接続できます。$f$$f(x)\in B\iff x \in A$