チューリング度は、他のチューリング度の数え切れないほどの通常のジャンプと比較できませんか？

チューリング度の中でフォームの度である、例えば、、などは、$0^n$$0$$0'$$0''$

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完全を期すために、これをすばやく証明します。うまくいけば、この短い証明では誰も気にしないでしょう：

補題：自然数のカウント可能なセットのセットは、それぞれの元のセットをチューリングマシンでデコードできるように、自然数の単一セットとしてエンコードできます。

証明：$S$セットのセットとすると、各$S_n \in S$は自然数のセットになります。O = \ {k \ cdot 2 ^ {n + 1}-2 ^ n |を定義します k \ in S_n \}$O = \{k \cdot 2^{n+1} - 2^n | k \in S_n \}$。

したがって、$S_n = \{ k | k \cdot 2^{n+1} - 2^n \in O \}$。明らかに、各S_nに対して、Oのオラクルを指定してS_n$S_n$を計算するチューリングマシンがあります。$S_n$$O$

マイナー定理：チューリングの次数のカウント可能なセットには上限があります。

証明：$D$カウント可能な度数のセットとします。したがって、各$D_n \in D$は、自然数のセットのカウント可能なセットです。してみましょう$E_n$の要素をコード化する自然数の集合とする$D_n$、と聞かせて$E$、すべてのエンコード自然数の集合とする$E_n$。

任意の次数セットは、 2回連続してデコードすることで計算できます。そのため、チューリング次数ます。したがって、は上限です。$D_n$$E$$D_n \leq [E]$$[E]$$D$

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上記のように、をの上限とします。もちろん、のチューリングジャンプを使用してを取得できますこれはと書き、さらに、チューリング次数のカウント可能なセット取得し。これらの上限を取ると、得られもちろん、さらにの上限を取りチューリング次数を取得します。一般に、カウント可能な序数場合、次数定義できます。$0^\omega$$\{0, 0', 0'', ... \}$$0^\omega$$(0^\omega)'$$0^{\omega + 1}$$0^{\omega + n}$$0^{2 \omega}$$\{ 0, 0^{\omega}, 0^{2 \omega}, ... \}$$0^{\omega^\omega}$$\beta$$0^\beta$

程度チューリングすべての非ゼロのためにすることが知られている、チューリング度がありそれは無類しています。ただし、チューリング次数（および私は特に興味がある）の場合、すべての可算序数と比較できないチューリング次数はありますか？$a$$b$$a$$0'$$b$$a^\beta$$\beta$

あなたの質問への答えは圧倒的です：ITに依存します！これは、いくつかのセット理論に私たちを連れて行きます。これは、興味深いものですが、おそらくCSにとっては打たれたトラックから少し離れています。これに対処するために、私は厳密に計算可能性理論について私の答えの最初の部分を作り、それから物事のセット理論の側面に別のセクションを追加しました。

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質問に答える前に、驚くべき微妙な点がここにあることがわかりました。

以下のために任意可算序、定義する方法必ずしも明確ではない。$\alpha$$0^{(\alpha)}$

これは、mathoverflowおよびmath.stackexchangeでさまざまに扱われます。ただし、以下に記述したものは自己完結型でなければなりません。

問題はプレゼンテーションの問題です（または、基本的には基本的に同じです）。一般に、が極限序数であるとすると、各に対してを定義し、をセットとして定義したいとしますただし、このセットは自然数のセットではありません。マップ修正すると、自然な方法でに沿って「解釈」できます：ここに問題があります：何$\lambda$$0^{(\alpha)}$$\alpha<\lambda$$0^{(\lambda)}$

$$Z_\lambda=\{(i, \alpha):i\in\omega,\alpha<\lambda, i\in0^{(\alpha)}\}.$$ $f:\lambda\rightarrow\omega$$Z_\lambda$$f$ $$Z_\lambda^f=\{(i, j): i\in\omega, j\in ran(f), i\in 0^{(f^{-1}(j))}\}.$$ $f$使いたいですか？選択が異なると、異なるセットが生成され、チューリング次数も異なる可能性があります。明らかなことは1つしかなかったので、これはを調理する際の問題ではありませんでしたが、さらに進めようとすると、問題が頭を痛めます。$f$$0^{(\omega)}$

クイック余談として、最初に有望なようだここで代替のアプローチがあります：単に定義ため制限序が少なくともアッパーの束縛されることを！句と組み合わせると、これはすべての可算序数で機能する再帰的な定義を与えるようです。ただし、この攻撃全体は誤った仮定に基づいて構築されていることがわかりますは、チューリングのの最小上限ではありません度、そして実際には自明でない最小の上限は存在しません（これはSpectorの「厳密なペア定理」です）。したがって、私たちは必然的にいくつかの作業を行う必要があります。$0^{(\lambda)}$$\lambda$$\{0^{(\alpha)}:\alpha<\lambda\}$$0^{(\beta+1)}=(0^{(\beta)})'$$0^{(\omega)}$$\{0^{(n)}:n<\omega\}$

この時点で、前に戻って反復ジャンプの理論を「ゼロから」開発することをお勧めします。これはクリーネによる超算術理論であり、サックスの本の冒頭で詳細に説明されています。素早い（そして非歴史的な）光沢を与えるだけにします。

上記で定義されたのセットは、単なる序数ではなく自然数のセットの明示的な適切な順序（つまり、「ラベル付き」の序数のコピー）に沿ってジャンプを繰り返すと、直感的に得られるものです）。これは正確にするために、仮定する、いくつかのセットのほか、発注である自然数（そのノートの決定）。次のプロパティを持つ自然数の順序付けられたペアの一意のセットがあることを示すのは簡単です。$Z_\lambda^f$$R$$D$$R$$D$$J_R$

• $(x,y)\in J_R$場合のみ。$x\in D$

• もしある -successorの、その後、 IFF停止し、ここで。$u$$R$$v$$(u, y)\in J_R$$\Phi_y^{J_R[v]}$$J_R[v]=\{z: (v, z)\in J_R\}$

• 場合ある -limit、次いで$u$$R$$J_R[u]=\{(v, y): v<_Ru, y\in J_R[v]\}.$

これは、空のセットから開始して沿ってジャンプを繰り返すと、直感的に得られるものです（空のセットから開始したという事実は、が最小要素である場合、は強制的に空にされます。空でない列から始めることで相対化できます）。$R$$u$$R$$J_R[u]$

が "nice"の場合、これは非常に適切に動作します。$R$

仮定セットのよく順序である各ような自然数の計算可能であり、それらのそれぞれの後続操作は計算可能であり、制限要素のそれぞれのセットが計算可能です。次に、とが同じ場合、ます。$R_0, R_1$$D_0, D_1$$R_i$$R_0$$R_1$$J_{R_0}\equiv_TJ_{R_1}$

上記の条件は、順序付けが計算可能であることを単に要求するよりも強力ですが、実際には、すべての計算可能な順序付けは（計算不可能に！）そのような「素晴らしい」計算可能な順序付けに同型です。だから、これに基づいて、それは定義するために理にかなってのためにの「素敵なプレゼンテーション」に沿って「ジャンプシーケンス」のユニークなチューリング度として「計算序」。より一般的には、チューリング次数場合、計算可能なプレゼンテーションを使用して、任意の序数の次数について話すことは理にかなっています。$0^{(\alpha)}$$\alpha$$\alpha$$d$$d^{(\alpha)}$$\alpha$$d$

計算セットいくつかの計算のためのあるhyperarithmeticセット。超算術は多くの同等の特性を持ち、現代の計算可能性理論の基本的な概念の1つであり、記述集合理論でも非常に重要です。しかし、これは数え切れないほど多くの序数を通過させるだけです。ほとんどの序数には計算可能なプレゼンテーションがありません！計算可能な序数の上限は「」と表示されます。これは、、などの他の一般的な序数よりもはるかに大きくなりますが、それでも数えられます。実際、ロジック内のさまざまな観点から数えられる序数の中でかなり小さいです。$0^{(\alpha)}$$\alpha$$\omega_1^{CK}$$\epsilon_0$$\Gamma_0$。そして、「非常に高い」に達しただけなので、2つのチューリング学位を調理することはそれほど難しくありません。もっと上手くできる？

さらに進むには、集合論に入る必要があるので、ここに水平線を置きます。

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では、集合論について話しましょう。過ぎても自然な方法でジャンプを続けることができることが。ただし、これはかなりすぐに複雑になります。アイデアは、から来ているゲーデルの構成可能集合、各追加のステップということでアイデア -hierarchyが取るようである -manyは、あなたが持っているもので、すべて一階定義可能で探しているので、（今のところ持っているもののジャンプこれまでのところ）。これをいじくると、マスターコードの概念がわかります。ここでは正確に定義しませんが、Hodesはこのトピックに関する優れた論文を発表しています。$\omega_1^{CK}$$L$$\omega$

さて、mastercodesは、多くの微妙な迷惑な機能を持っているしかし、彼らは（ISH）はemptysetとまでずっと起動ジャンプを繰り返す問題なく私たちを聞かせて、構成可能集合が考える最初の序数は数え切れないほどあります。（より一般的には、次数を指定すると、問題を起こさずにまで問題なく "マスターコードを作成"できます。これは、を含むZFCの最小の内部モデルが計算できない最初の順序です。）$^*$$\omega_1^L$$d$$\omega_1^{L[d]}$$d$

構成可能なユニバースがたまたますべてある場合、つまりV = Lの場合は、次のようになります。

すべての実数は、いくつかのについて、マスターコードの意味で、いくつかのから計算できます。$L$$0^{(\alpha)}$$\alpha<\omega_1^L$

より一般的には、「マスターコード経由で到達可能」は、相対的な構成可能性の概念を提供します： iff iffがを含むすべての内部モデルにある場合iffがいくつかのから計算可能はです。$x\le_Ly$$x\in L[y]$$x$$y$$x$$y^{(\alpha)}$$\alpha<\omega_1^{L[y]}$

ただし、がから非常に離れている可能性は十分にあります（つまり、ZFCと比較して一貫しています）。たとえば、は数えられる可能性があり、実際には「実際の」はの観点からはかなり大きく見える可能性があります。確かに、強力な集合論的仮説は、このアイデアで私たちが非常に遠くに行くことを妨げることができることがわかります：$V$$L$$\omega_1^L$$\omega_1$$L$

大まかに言えば、大きな基数が存在する場合、チューリング度の増加する簡単に定義することはできません。（これはパラメーター化されています：大きな枢機卿を増やすと、ますます必要な定義不可能性が得られます。）$\omega_1$

を想定し、一貫性の強さを上げるような（大きなカーディナルのような）何かを場合でも、 -degreesは、を強制することによって、かなりワイルドになる可能性があります。特に、がに対して相互にコーエンジェネリック（たとえば）である場合、およびです。を変更せずにCohenジェネリックを取得できるため、この場合、「マスターコード画像」を購入すると仮定すると、数え切れないほど多くのジャンプを介して他から到達できません（そうでない場合は、別の画像を準備する必要があります！） 。$\omega_1^L=\omega_1$ $\le_L$$c_0, c_1$$L$$c_0\not\in L[c_1]$$c_1\not\in L[c_0]$$\omega_1$

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$^*$彼らは本当に唯一のレベルで意味を理解度ではなく、ナチュラルのセットので、その意味で「プレゼンテーションの問題は」避けられていません、。Hodesの論文の207ページの真ん中を見てください。さらに厄介なことに、定理8（および関連する定義については、204ページの下部を参照）は次のことを示しています...わかりました。これを言うのに良い方法はありません。私はそれを先延ばしにすることはできません。マスターコードジャンプはありません。完全にモノトーン。を使用できますがはある程度です。ああああ。$\alpha<\beta$$a^{(\beta)}=0^{(\alpha)}$$a$