なぜ計算可能な関数は継続的ですか？

私はラムダ計算の意味論的意味について読みやすい文書を書いているところです。そのために、CPO、単調性、連続性を紹介します。CPOはセットです$M$ 半順序で $\leq$および下部要素必要、における最小要素であると上限以上の存在（毎鎖用）で。関数 2のCPOの間に、すべてのための場合は、単調である以下が成り立ちます。$\bot$$\bot$$M$$\bigsqcup$$d_0 \leq d_1 \leq d_2 \leq ...$$M$$f$$M$$N$$a, b \in M$

関数 2のCPOの間で、それが単調であり、すべてのチェーンのためならば、連続している、我々が持っています$f$$M$$N$$d_0 \leq d_1 \leq d_2 \leq \dots$

これらの定義の意味について読者に良い直感を与えたいと思います。ただし、書き留めることができるものはありません。彼の本»言語«（1993）プログラミングの正式な意味でのグリン・ウィンスケルに続き、として読まれなければなら近いを意味し、（ページ72）できるだけ多くの情報として、少なくとも持っています。これにより、出力に関する詳細情報（122ページ）に入力に関する詳細情報を反映する単調関数になります。これは私には幾分理解できます。ただし、継続性の説明は私には明確ではありません。$a \leq b$$a$$b$$b$$a$

後で説明するように、計算可能な関数は、計算可能な関数の出力における情報の単位の出現は、入力における有限数の情報の単位の存在にのみ依存するべきであるという考えに従って、連続でなければなりません。

（73ページ）

これは、セクション8.2（121〜123ページ）のストリームの例、またはこの回答を読んだ後でも、まだわかりません。

だから私の最後の質問は、計算可能な関数が連続的であることを読者にどのように納得させるのですか？なぜありません何で計算機能ではない連続は？

計算能力や固定小数点理論の厳密な導入を必要としない答え/例を提供していただければ幸いです。私はそれらに集中したくないからです。また、ラムダ計算とその意味論的な意味論を事前に知る必要がない場合は、それらの前に単調性と連続性を導入する必要があるので（そうしなければならないので）、すばらしいでしょう。

編集：計算可能というのは、チューリング計算可能という意味です。Winskelsの計算可能ページ337ページの定義を誤解している場合は、訂正してください。これは、チューリング計算可能として明示的に定義されているわけではなく、同等の方法で（少なくとも私の目では）です。

また、私の問題を説明しようとしている別の情報源を指摘したいと思います。しかし、それでもWinskelからのストリームの例と基本的に同じであるため、その例はわかりません。

編集2：それはまた、すべての計算可能な関数が単調であること、つまり非単調な計算可能な関数が存在しないことを示すために私が問題を理解するのを助けるのに良いスタートです。

「計算可能は意味する」を説明する方法はいくつかありますが、ここではそのような2つの説明をします。

チューリングマシンが連続マップを計算する

入力テープに書き留められる可能性のある無限の入力を受け取るチューリングマシンがあるとします。結果は出力テープに書き込まれ、出力セルは1回だけ書き込みます。実用的なテープがあります。機械は永久に稼働し、出力セルがいっぱいになる可能性があります。これはタイプ2マシンとして知られています。（他の種類のマシンの議論も同様ですが、より単純になります。）

以下は明らかです：マシンが出力セルに書き込むとき、そのポイントまでの動作は入力テープの有限部分にのみ依存します。これは、有限の多くの計算ステップで入力ヘッドを移動できなかったという単純な理由によりますある時点を過ぎた。したがって、その時点までに与えられたテープと一致するすべての入力テープは、マシンが同じ出力セルに同じ答えを書き込む原因になっていました。

しかし、入力テープと出力テープのスペースに正しいトポロジを配置すると、これは連続性の形式です。

まず、セットにトポロジを配置します $\Sigma$テープセルに書き込むことができるシンボルの数。このために、個別のトポロジを選択します。テープはシンボルの無限シーケンスなので、の要素は$\Sigma^\omega$の製品である $\Sigma$の。その上に製品トポロジーを配置しましょう。

基本的なオープンセットが $\Sigma^\omega$ 製品トポロジーの形式は $U(a_0, \ldots, a_{n-1}) = \{\alpha \in \Sigma^\omega \mid \forall i < n . \, \alpha_i = a_i\}$、 どこ $a_0, \ldots, a_i \in \Sigma$。つまり、基本的なオープンセットは、シーケンスの最初の部分を指定された値に修正します。$a_0, \ldots, a_n$。

次に、関数が $f : \Sigma^\omega \to \Sigma^\omega$マシンによって計算された実際には連続です。基本的なオープンセットを取る$V = U(a_0, \ldots, a_{n-1})$ そしてましょう $W = f^{-1}(V)$。確認する必要があります$W$開いています。この目的のために、$\alpha \in W$。基本的なオープンセットを見つけた場合$W'$ そのような $\alpha \in W' \subseteq W$、それで終わりです。

なぜなら $\alpha \in W$、 我々は持っています $f(\alpha) \in U$。したがって、入力時$\alpha$ マシンは、で始まる出力テープを生成します $a_0, a_1, \ldots, a_{n-1}$。それがこれらの細胞を書き出すときまでに、それはせいぜい最初に検査した$k$ 一部の入力のセル $k \in \mathbb{N}$。取るかもしれません$W' := U(\alpha_0, \ldots, \alpha_k)$ そしてそれを確認する $\alpha \in W' \subseteq W$。それは明らかです$\alpha \in W'$。証明する$W' \subseteq W$ いずれかを取る $\beta \in W'$ そしてそれを観察する $f(\alpha)$ そして $f(\beta)$ 最初に同意する $n$出力の値。これは、$f(\beta) \in V$ それゆえ $\beta \in W$、 要求に応じ。

計算可能なマップは代数的マップ間のマップとして連続的です $\omega$CPO

まず、定義した内容は通常「$\omega$CPO」（$\omega$ 名前の中にあるのは、チェーンのプリマだけが必要であることを示しています）

表示セマンティクスでは、データ型は $\omega$CPO。実際、それらは代数に対応します $\omega$CPO（これはあなたの論文にありますか？） $\omega$コンパクトな要素がベースとなるCPO。ここにいくつかの定義があります。

定義： Let$D$ 豆 $\omega$CPO。要素$d \in D$あるコンパクトな場合は、すべてのチェーンのために、$x_0 \leq x_1 \leq \cdots$ そのような $d \leq \bigsqcup_i x_i$、 が存在します $j$ そのような $d \leq x_j$。

定義： An$\omega$CPOは代数的です$x \in D$ その下のコンパクト要素の上限です。

コンパクトな要素の背後にある直感は、それらが「有限の情報」を含むということです。良い例は$\mathcal{P}(\mathbb{N})$、によって順序付けられた自然数のべき集合 $\subseteq$、ここでコンパクト要素は正確にの有限サブセットです $\mathbb{N}$（運動！）。別の例：$\omega$連続機能のCPO $\mathbb{N} \to \mathbb{N}_\bot$ コンパクト要素は、以下に等しい部分関数です $\bot$ 有限な議論を除いてどこでも。

それを言うには $\omega$CPOは代数的であり、すべての要素はそれを近似する有限の情報によって完全に決定されます。表示セマンティクスでは、データ型が代数に対応するという事実です$\omega$CPOは、非常に異常なことをしている場合を除きます。

これで、すべての計算可能なマップが連続的である理由を説明できます。と思います$D$ そして $E$ は $\omega$CPOSおよび $f : D \to E$計算可能。と思います$x \in D$、 $e \in E$、 $e$ コンパクトであり、 $e \leq f(x)$。直感的に、これは「有限の情報$e$ 出力に表示されます $f(x)$"。 $f$ 計算可能である、それが情報を計算した場合でなければならない $e$ 限られた量の情報のみにアクセスする $x$、つまり、コンパクトな $d \in D$ そのような $d \leq x$ そして $e \leq f(d)$。この引数は、上記のチューリングマシンの引数と比較する必要があります。私たちは確立しました：

補題：もし$f : D \to E$ 計算可能であり、 $e \leq f(x)$ いくつかのための $x \in D$ そしてコンパクト $e \in E$、それからコンパクトがあります $d \in D$ そのような $d \leq x$ そして $e \leq f(d)$。

補題を使用して、計算可能であることを示すことができます $f$継続的です。と思います$x_0 \leq x_1 \leq \cdots$ のチェーンです $D$。なぜなら$f$ モノトーンです、私たちはすでにそれを知っています $\bigsqcup_i f(x_i) \leq f(\bigsqcup_i x_i)$、しかしまた、不平等も必要です $f(\bigsqcup_i x_i) \leq \bigsqcup_i f(x_i)$。なぜなら$E$ 代数的であり、いつでもそれを示すだけで十分です $e \in E$ コンパクトで $e \leq f(\bigsqcup_i x_i)$ その後 $e \leq \bigsqcup_i f(x_i)$。だから仮定する$e \leq f(\bigsqcup_i x_i)$。補題によってコンパクトが存在します$d \in D$ そのような $d \leq \bigsqcup_i x_i$ そして $e \leq f(d)$。なぜなら$d$ コンパクトであり $j$ そのような $d \leq x_j$、したがって、の単調性 $f$ 我々は持っています $e \leq f(d) \leq f(x_j) \leq \bigsqcup_i f(x_i)$。終わりました。