ライスの定理の意味

ライスの定理の意味を理解するたびに、自分を混乱させる反例を見つけます。多分誰かが私が間違っていると思っているところを教えてくれるかもしれません。

計算可能な関数のセットのいくつかの重要なプロパティを取りましょう。たとえば、。明らかに、可算無限であると計算機能の可算無限の数ではありませんでもあります。$L = \{ f : \mathbb{N} \to \mathbb{N} \;|\; \text{f is a computable and total function} \}$$L$$L$

今命令の有限集合のオーバーチューリング完全なプログラミング言語考えることができますと構文的に正しいプログラムのセットと、。私の言語のセマンティクスを好きなように選択できる場合は、プログラムに自由に番号を付けることもできます。そのため、プログラムの一部が計算可能な関数の任意の一部を正確に計算するようなプログラミング言語を設計できるはずです。カーディナリティが一致する限り。たとえば、であり、各プログラムは合計関数を計算します。以降 、そのような言語が存在する必要があります。$\Sigma$$P \subseteq \Sigma^*$$|P| = |\mathbb{N}|$$P_{pal} = \{ w \in \Sigma^* \;|\; w\text{ is a palindrome} \}$$p \in P_{pal}$$|P_{pal}| = |L|$

ただし、は明らかにチューリング計算可能であり、、重要なプロパティを決定するプログラムがあり、ライスの定理によれば不可能です。$isPalindrome(w)$$isPalindrome(w) \iff isTotal(w)$$L$

控除のエラーはどこにありますか？これは、各パリンドロームプログラム（またはむしろのないプログラミング言語が存在しない意味任意の計算構造）は、正確に合計関数（またはむしろ計算任意の計算可能な関数の集合）は？これは本当に私を困惑させます。

忘れているのは、使用するすべてのマッピングが計算可能でなければならないということです。一致するカーディナリティがマッピングの存在を確実にすることを表明すると、それは真実である可能性がありますが、マッピングが計算可能である可能性は低くなります。計算可能性（少なくとも私が知っていること）では、すべてが有限であるか、数え切れないほど無限です。したがって、マッピングの存在は通常問題ではありません。問題は、それが計算可能なものかどうかです。

別の言い方をすれば、パリンドロームの単語と完全に計算可能な関数を正確に関連付けるマッピング（実際には数え切れないほど多くの）があることは確かです。しかし、そのような回文を考えると$w$、マッピングが関数に関連付ける $f_w$ 実際にそのようなマッピングを使用して適用の結果を取得する方法はありません $f_w$いくつかの議論に。マッピングでは、関数を識別したり、関数を使用して計算したりする方法はありません。言語に計算不可能なセマンティクスがあります。

また、プログラムに番号を付けることもできます。そのため、カーディナリティが一致する限り、プログラムの一部のサブセットが計算可能な関数の一部の任意のサブセットを正確に計算するプログラミング言語を設計できるはずです。

一部の関数のセットでは、それは機能します。他人のためではない。しかし、新しいプログラミング言語はいくつかのプログラムの新しい番号付けであり、それはライスの定理が話しているものではありません。

ライスの定理のために、すべての部分的な再帰関数のゲーデル列挙のみを考慮し、次に、インデックスセット、つまり、指定されたセットの関数の列挙内のすべてのインデックスのセットについてのみ述べます。

それはすべてのインデックスのセットをカバーするわけではありません。プログラムには決定的な特性がたくさんあるので、それは良いことです。こちらもご覧ください。

すべての列挙がプログラムのインデックスからプログラムに関連付けられた関数を効果的に計算できるわけではないため、プログラムのすべての列挙が「受け入れられる」とは限りません。つまり、ユニバーサルマシン（utmプロパティ）はありません。列挙を「受け入れる」ために通常必要とされる2番目のプロパティはsmnプロパティです。プログラムインスタンスのインデックスを均一かつ効果的な方法で計算できる必要があります。

utmとsmnを楽しんでいる列挙のペアが再帰的に同型であること（ロジャーの等価定理）を証明できます。つまり、2つの列挙の間でプログラムを変換する効果的な方法があるということです。これにより、理論は列挙に依存しなくなります。

これはすでに、utmとsmnの関連性を強調するのに十分です。計算可能性への「抽象」アプローチの2つの基本的な定理です。

ロジャーの定理は、彼の著書「再帰関数の理論と効果的な計算能力」（演習2-10、ページ41）で演習（原文！）として提示されています。しかし、証明は確かにそれほど難しいものではありません。

とりわけ、私が抱えていた問題に対処するUdi BokerとNachum Dershowitzによるこの興味深い論文を見つけました。序論では、彼らはそれを述べています（私の強調）

「とはどういう意味ですか」$f$計算可能ですか？」最も可能性が高いのは、チューリングマシンがあることです$M$、 そのような $M$ 計算する $f$、ドメインの文字列表現を使用 $D$。しかし、許可されている文字列表現は何ですか？明らかに、任意の表現（$D$ に $\Sigma^*$）は問題があります–決定関数を「計算可能」にします。たとえば、マシンコードのドメインを並べ替えることにより、停止関数は単純なパリティ関数に変形することができます [...]

そしてさらに

別のアプローチは、「自然な」または「効果的な」表現のみを許可することです。ただし、計算可能性を定義するという文脈では、「自然さ」または「有効性」という漠然とした未定義の概念に頼る必要があり、それによって計算可能性を特徴付けるというまさにその目的を打ち負かすことになります。

これは、「計算可能なセマンティクス」と呼ばれる方法を説明しています。この論文には、Michael Rescorlaからの次の引用も含まれています。

教会の論文を含むとされる概念的な分析は、微妙ながらも取り除けない循環性を生み出すと示唆します。それらは、計算可能性の直観的な概念を呼び出すことにより、計算可能性の直感的な概念を特徴付けます。私は提出します[...]構文エンティティと非構文エンティティ自体の間の意味論的相関が計算可能であることを要求する必要があります。しかし、提案された分析は計算能力を非循環的に明らかにするものではありません。

したがって、著者によると、計算可能な関数の一般的な正式な定義は、計算可能性が何を意味するかについての非公式な直観に依存しています。