無限に多くの再帰セットの共通部分は再帰的ですか？

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無限に多くの再帰的なセットの交差点（各セットが異なる場合）は再帰的ですか？再帰的に列挙可能ですか？要素がセット内にある場合を決めるので、私は、ない労働組合の必要性を再帰的に知っているあなたが決定する必要があります各要素のためにあなた以来、停止問題の決定と同じである場合に機能することを計算の場合いくつかのために終了します。 $\bigcap_{i}U_{i}$ $U_i$ $x \in U_i$ $i$

computability sets

「無限再帰セット」は「無限に多くの再帰セット」であるべきですか？

— Andrej Bauer

@AndrejBauerはい

その推論によって、すべてが停止問題を決定することと同じです。入力数が42に等しいかどうかを知りたいので、入力数が42の場合にのみ停止するプログラムが停止するかどうかを判断する必要があります。

— user253751

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労働組合についてはすでに知っているので、ドモルガンの法則を思い出すことでこれを理解できます。労働組合の補集合は、補集合の交差部分の補集合です。これを念頭に置いて、、実行のステップ内で停止しないチューリングマシンのセット（インデックス）とします。したがって、補数は、最初のステップ内で停止するマシンの（インデックス）のセットです。 $U_i$ $i$ $\mathbb{N} \setminus U_i$ $i$

今、我々は：場合で停止セット。の補数は、再帰的でも再帰的に列挙可能でもありません。

⋂_{i} U_{i} = N ∖ ⋃_{i} (N ∖ U_{i}) = N ∖ H

$\textstyle\bigcap_i U_i = \mathbb{N} \setminus \bigcup_i (\mathbb{N} \setminus U_i) = \mathbb{N} \setminus H$

H

$H$

H

$H$

ところで、「要素がセットにあるかどうかを決定することは、停止問題を決定することと同じです...」と述べていますが、これは必ずしも正しくありません。たとえば、すべてのに対してを設定すると、すべてのが決定可能になります。が何であるかに注意を払う必要があります。 $U_i$ $U_i = \{42\}$ $i$ $U_i$ $U_i$

— アンドレイ・バウアー
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ごとに、取ります。として、必要なセットを作成できるようになり。 $i\in \mathbb{N}$ $S_i = \mathbb{N}\setminus \{i\}$ $X = \bigcap_{i\notin X}S_i$

同様に、再帰セットの和集合が何でもないことのより簡単な証明は、を許可することです。これで、すべてのセットはます。 $T_i=\{i\}$ $X$ $X = \bigcup_{i\in X}T_i$

— デイビッド・リチャービー
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