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問題の（計算）複雑さに関する質問

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この関数が
私の教科書は言う：「我々は、関数定義f:N→Nf:N→Nf\colon \mathbb{N}\to\mathbb{N}次のように及び注意を与えていること、我々時間でがと間に挟まれるような数を簡単に見つけることができます。 "f(1)=2f(1)=2f(1)=2f(i+1)=2f(i)1.2f(i+1)=2f(i)1.2f(i+1)=2^{f(i)^{1.2}}nnnO(n1.5)O(n1.5)O(n^{1.5})iiinnnf(i)f(i)f(i)f(i+1)f(i+1)f(i+1) 実際に簡単に時間でを見つけることができると自分に納得させるにはどうすればよいですか？再帰的に定義され、私たちは計算にあると思うまでの。これらの計算にかかる時間を見つけるには、依存する適切な上限を見つける必要があると思います。また、関数の実行時間の上限を見つける必要があります。。最後に、うまくいけば引用された命題を示すことができます。残念ながら、どちらも見えません。iiiO(n1.5)O(n1.5)O(n^{1.5})ffff(1),f(2),f(3)…f(j)f(1),f(2),f(3)…f(j)f(1),f(2),f(3)\dots f(j)f(j)≥nf(j)≥nf(j)\geq niiinnnx→2x1.2x→2x1.2x\to2^{x^{1.2}} 私が言及するのを忘れていました：私たちは非決定的なコンテキストにいることに注意してください。したがって、はで非決定性チューリングマシンによって計算可能であると主張されています。fffO(n1.5)O(n1.5)O(n^{1.5}) かなりの数の人がすでにこの質問を読んでおり、一部の人もそれが有用で興味深いと感じていますが、今のところ誰も回答していないので、私はコンテキストについていくつかの情報を提供したいと思います：引用された主張は証拠の不可欠な部分です非決定論的な時間階層定理。証明（主張付き）は、たとえばAroraとBarakの本にありますが、同じ証明を提供するWeb上の他のリソースもかなりたくさん見つかりました。それらのそれぞれは、クレームを簡単または些細なものと呼んでおり、を見つける方法については詳しく説明していませんiii時間で。したがって、これらすべてのリソースがAroraとBarakからコピーされたか、その主張は実際にはそれほど難しくありません。O(n1.5)O(n1.5)O(n^{1.5})
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スピアマンの順位相関係数計算の複雑さは何ですか？
スピアマンの順位相関係数を研究してきました 。ρ = ∑私（x私− x¯）（y私− y¯）Σ私（x私− x¯）2Σ私（y私− y¯）2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√ρ=Σ私（バツ私−バツ¯）（y私−y¯）Σ私（バツ私−バツ¯）2Σ私（y私−y¯）2\qquad \displaystyle \rho = \frac{\sum_i(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_i (x_i-\bar{x})^2 \sum_i(y_i-\bar{y})^2}} 2つのリストおよびy 1、… 、y nの場合。アルゴリズムの複雑さは何ですか？バツ1、… 、xんバツ1、…、バツんx_1, \dots, x_ny1、… 、yんy1、…、yんy_1, \dots, y_n アルゴリズムは減算を計算するだけなので、O （n ）になることは可能ですか？んんnO （n ）O（ん）O(n)
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DOES
あるNPNPNPへのOracleアクセスとNPNPNPだけより大きいNPNPNP？私が理解しているように、NPNPNPNPNP^ {NP}は、がシミュレートできる場合、他のNPNPNPマシンにクエリを実行できるチューリングマシンにすぎませんか？この議論に何か問題がありますか？NPNPNPNPNPNPNPNP^{NP}
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Big-O-Notationの通常のランタイムのバリエーションはありますか？
やなど、複数の表記があります。やなど、実際にそれらのバリエーションがあるのか​​、それとも数学的に正しくないのかと思いました。OOOO （n ）O(n)O(n)O （n2）O(n2)O(n^2)O （2 n2）O(2n2)O(2n^2)O （ログん2）O(log⁡n2)O(\log n^2) それとも、をに改善できると言うのは正しいことでしょうか？私はまだランタイムを理解することはできませんし、必要もありませんし、何も改善する必要はありませんが、これが実際の関数の記述方法かどうかを知る必要があります。O （5 n2）O(5n2)O(5n^2)O （3 n2）O(3n2)O(3n^2)
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「O（1）-complete」問題はありますか？
多くの複雑なクラスには「完全な」問題があります。時間で解決できる問題の複雑さのクラスに完全な問題が存在しますか？O （1 ）O(1)O(1) 複雑なのは、このクラスが計算モデルに依存していることです。「合理的」とは通常、チューリングマシンとの多項式時間の等価性を意味するので、問題は、ある合理的な計算モデルでは時間で解決できますが、別のモデルでは解決できません。ただし、特定の合理的なモデルについては引き続き問題が解決する可能性があります。O （1 ）O(1)O(1) 一定時間の多元削減を見るのが最も理にかなっていると思います。ただし、それらに関する文献があれば、他の賢明な削減を検討することもできます。 このようなものは存在しますか、それとも計算のモデルに対して研究されましたか？
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プレスブルガー演算の二重指数関数的複雑さの証明に使用されるトリック
私はこれをMathUnderflowに投稿しましたが、答えが得られなかったので、ここで試してみると思いましたが、 私はラビンとフィッシャーの古い論文[可能な場合はリンクを掲載します]を読んでいます。その中で、プレスブルガー演算の二重の指数関数的な複雑さが証明されています。 証明は、「x &lt; 2 2 k x + 1」を|で非公式に表明する式の存在に依存しています I N | ∈ O （N ）。この公式の構造は論文には記載されていませんが、その限界と追加のみを自由に使用できるという事実を考えると、それは非常に簡単ではないと思われることを考えると驚きでした！¹私ん（x ）In(x)I_{n}(x)x &lt; 22k x + 1x&lt;22kx+1x < 2^{2^{kx+1}}| 私ん| ∈O（N）|In|∈O(n)|I_{n}| \in O(n) この公式の作成は、以前はフィッシャーが発見した「トリック」に依存していること、そしてフォルカーストラッセンが独自に作成していることを後で知りました。 だから誰かが私が話している紙について知っていて、私をその方向に向けるか、私にトリックを説明することができれば... リプトンのブログからのこの投稿には、論文へのリンクと言及が含まれています（そして、大まかな、残念ながら私には不十分で、スケッチが提供されています）BTWというトリックです。 thisこれは漠然とした説明であることを知っています。ただし、SXの投稿には十分に詳細な説明が長すぎるので、問題の論文についてすでに知っている人、つまりその簡単なスケッチで間に合う人がこれにぶつかって助けてくれることを願っています。 。
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未満の距離空間の点集合の中心点を見つけますか？
メトリック空間で定義されたポイントのセットがあるので、ポイント間の「距離」を測定できますが、それ以外は測定できません。このセット内で最も中心的なポイントを見つけたいと思います。これを、他のすべてのポイントまでの距離の合計が最小になるポイントとして定義します。メトリックの計算は遅いため、可能な限り回避する必要があります。nんn このポイントを見つける明白な方法は、メトリック距離計算を使用します。これは、（a）各ポイントについて、他のすべてのポイントまでの距離の合計を計算し、（b）最小ポイントを取るためです。n2ん2n^2 未満の距離比較でこれを行う方法はありますか？（おそらく、三角形の不等式を何らかの方法で利用していますが、これは私の測定基準に当てはまるはずです。）O(n2)O（ん2）O(n^2) 正確な方法が存在しない場合は、適切な近似で十分です。
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二分法モデルのO（n）で整数の並べ替えは可能ですか？
私の知る限り、次の問題を解決する最悪の場合のアルゴリズムは存在しません。O(n)O(n)O(n) 有限の整数で構成される長さシーケンスを前提として、すべての要素が後続要素以下である順列を見つけます。nnn しかし、計算の二分法モデルには、それが存在しないという証拠がありますか？ 整数の範囲を制限しないことに注意してください。比較ソートのソリューションも制限しません。
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要素の一意性は決定論的な線形時間で解決できますか？
次の問題を検討してください。 入力：整数のX,YX,YX,Yをリストします 目標：両方のリストに整数が存在するかどうかを判断しxxxます。 両方のリストのサイズがます。この問題の確定的な線形時間アルゴリズムはありますか？言い換えれば、ランダム性を使用せずに、この問題を時間で決定論的に解決できますか？X,YX,YX,YnnnO(n)O(n)O(n) 残念ながら、リストの要素がすべて小さいとは限りません。 ランダム化されたアルゴリズムを使用して予想時間でそれを解決する方法を見ることができます：2つのユニバーサルハッシュ関数ランダムに選択し、の要素をハッシュテーブルに格納し（ハッシュ関数としてを使用）、次にルックアップします各要素を調べて、それがハッシュテーブルにあるかどうかを確認します。予想される実行時間はO （n ）になります。しかし、O （n ）の実行時間で決定論的アルゴリズムを見つける方法がわかりません。これをランダム化解除して単一の特定のハッシュ関数を修正しようとすると、最悪の場合の入力が存在し、このプロシージャがΘ （nO(n)O(n)O(n)hhhXXXhhhYYYO(n)O(n)O(n)O(n)O(n)O(n)Θ(n2)Θ(n2)\Theta(n^2)時間。私が見つけることができる最良の決定論的アルゴリズムは、値をソートすることですが、それは線形時間ではありません。線形実行時間を達成できますか？ また、すべてのリスト要素が範囲整数であると仮定すれば、線形時間でそれを解決する方法を見ることができます[1,n][1,n][1,n]（基本的に、ソートのカウントを行います）-しかし、一般的に何が起こるかに興味がありますそれが想定できない場合。 答えが計算モデルに依存している場合、RAMモデルは思い浮かびますが、合理的な計算モデルの結果に興味があります。私はを知ってるの要素の一意性のための決定木アルゴリズムの下限がある場合でも、時には我々は線形時間アルゴリズムを見つけることができるように、これは決定的ではありませんΩ （nはログN ）にバインド決定木モデル。Ω(nlogn)Ω(nlog⁡n)\Omega(n \log n) Ω(nlogn)Ω(nlog⁡n)\Omega(n \log n)
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オラクルチューリングマシンの使用はどのように矛盾を引き起こさないのですか？
Oracle Turing Machinesを使用する場合、複雑さのクラスについて健全で有効な発言を継続して行うにはどうすればよいですか？私の理解によると（主題に関する導入教科書で与えられた定義に基づいて）、Oracleチューリングマシンは、1つの計算ステップでOracle言語に関する文字列のメンバーシップステータスを決定できます。ただし、よく使用されるオラクル言語は、一定の時間で解決することはおそらく不可能です（たとえば、EXPTIMEで完全なオラクルを考えてみてください）。私にはこれは矛盾に「扉を開く」ようなもので、結局のところ、矛盾から何でも起こります。
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UNIQUE k-SATがPにあることを示している場合、それはP = NPを意味していますか？
Valiant＆Vaziraniは、SATが多項式時間のランダム化された確率的削減の下でUNIQUE SATに削減可能であることを証明しました。Calabroのら。UNIQUE k-SATはk-SATと同じくらい難しいことを示しました。ここで問題は、誰かがUNIQUE k-SATがPにあることを示した場合、それはP = NPを意味するのでしょうか？ 参考文献 LG ValiantとVV Vaziraniは、「NPはユニークなソリューションを検出するのと同じくらい簡単です。」Theoretical Computer Science 47：85–93、1986。（ScienceDirectのPDF。） C. Calabro、R。Impagliazzo、V。Kabanets、およびR. Paturi、「ユニークなk-SATの複雑さ：k-CNFの分離補題」。 コンピュータとシステム科学誌 74（3）：386-393、2008.（PDF ACMのデジタル図書館で、無料のPDF。）
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問題の名前は何ですか？（グラフを3つのカバーに分割）
この問題に名前があるかどうか疑問に思いました： その縁、赤、青、緑に着色されている、単純なグラフ所与、頂点着色あるそのようなすべてのエッジすなわち同じ色の端点がありますか？G=(V,B∪R∪G)G=(V,B∪R∪G)G=(V,B\cup R\cup G)c:V→{B,R,G}c:V→{B,R,G}c:V\to \{B,R,G\} また、これはNP完全であることがわかっていますか？ これは、CSP（または2SATの一般化）の特殊​​なケースと見なすこともできます。各制約は、3つの値のいずれかを取る2つの変数の分離であり、同じ変数ペアに2つの制約はありません。
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確率分布と計算の複雑さ
この質問は、確率論と計算の複雑さの交差についてです。重要な観察の1つは、一部の分布は他の分布よりも生成が容易であることです。たとえば、問題 数所与、一様に分布数を返す私はで0 ≤ iが&lt; N。nnniii0≤i&lt;n0≤i&lt;n0 \leq i < n 解決は簡単です。一方、次の問題は、はるかに困難であるか、そのように見えます。 数値nnn、iがペアノ演算で長さnの有効な証明（のゲーデル数）になるような数値返します。さらに、そのような証明の数がp r （n ）である場合、長さnの特定の証明を取得する確率 は1でなければなりません。iiiiiipr(n)pr(n)pr(n)nnn1pr(n)1pr(n)\frac{1}{pr(n)}。 これは、確率分布には計算の複雑さの概念が伴うことを私に示唆しています。さらに、この複雑さはおそらく、潜在的な決定問題（PPP、EXPEXPEXPなどの再帰的、再帰的、再帰的に列挙可能、またはそれより悪いかどうか）と密接に関連しています。 私の質問は、確率分布の計算の複雑さをどのように定義するか、特に根本的な決定問題が決定可能でない場合です。これはすでに調査されていると思いますが、どこを見ればよいかわかりません。
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形式言語間の適切な同型は何ですか？
アルファベットΣ上の形式言語 は、Σ ∗のサブセット、つまりそのアルファベット上の単語のセットです。2つの形式言語LとL ′は、対応するセットがL form L ′のサブセットとして拡張的に等しい場合、等しい。複雑性理論の言語を使用して、「問題」の概念を形式化できます。LLLΣΣ\SigmaΣ∗Σ∗\Sigma^*LLLL′L′L'L∪L′L∪L′L\cup L'「一般に」エクステンションの平等は決定不可能であると文句を言うかもしれませんが、これは誤解されると思います。 私はしばらくして次の問題を考えています：アルファベットΣ = { a 、b }およびΣ ′ = { c 、d }（ここでa、b、cおよびd）に関する 2つの言語およびL ′LLLL′L′L'Σ={a,b}Σ={a,b}\Sigma=\{a,b\}Σ′={c,d}Σ′={c,d}\Sigma'=\{c,d\}aaabbbcccddd異なる文字）は、「まったく」同じ「問題」を説明していても、決して等しくなることはありません。しかし、実際に「正確に」同じ「問題」を説明する場合、それらは同型でなければなりません。私が知りたいのは、複雑性理論に適した同型の考えられる概念です。私は当初、有限状態マシンのような計算的に弱い「トランスレーター」を使用して、許容される同型を定義できると考えていましたが、これは、同等の論理式間の簡単な構文変換ではすでに壊れているようです。（例えば参照の構文定義で、この表をデュアル A⊥A⊥A^\bot線形ロジックで）。 今日、私は次のアイデアを思いつきました。特定の「決定問題」に対応する言語の定義には2つの部分があることがよくあります：（1）許可された問題インスタンスを有限のシンボル文字列としてエンコードすること、および（2）「その言語に属する「受け入れられた」問題インスタンス。与えられたシンボルの有限文字列が許可された問題インスタンスのエンコーディングであるかどうかのチェックで、有限状態マシンよりも計算的に強力なマシンがすでに必要な場合、このより強力なマシンを許可された同型の定義にも使用する必要があります。 質問：この一連の推論により、私の問題が「解決」される可能性はありますか？私の問題はすでに解決されているので、適切なリファレンスを読む必要があるだけですか？私の問題自体は理にかなっていますか、またはこれは拡張平等の決定不能性について不平を言うのと同じくらい間違っていますか？ 編集（まだ回答はありません）「（1）シンボルの有限文字列としての許可された問題インスタンスのエンコーディング」には、正規化された入力の（非表示の）仮定がすでに含まれていることに気付きました。この仮定がないと、2つの異なる有限文字列が同じ問題インスタンスに対応する可能性があります。与えられた有限の文字列が有効かどうかをチェックする代わりに、チェックは正規化された入力を生成します（そして無効な文字列を特別な文字列にマップします）。 この設定には、チェック/正規化を行うマシンに、有限ストリングを他の有限ストリングに変換する手段がすでに備わっているという利点があります。このタスクに許可されたマシン（複雑度クラス）は問題定義の一部である可能性があり、（等）射は同​​じマシン（複雑度クラス）を使用します。（ラファエルのコメントからの「ポリタイム多元削減」の提案は、実際にPの問題の1つの可能性でしょう。PP\mathsf{P}。） 欠点は、この指定方法は確定的マシンにのみ適している場合があることです。非決定的なマシンでは、2つの入力文字列が同じ問題インスタンスに対応するかどうかを指定/決定するためのより柔軟な方法が必要になる場合があります。
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