スピアマンの順位相関係数計算の複雑さは何ですか？

スピアマンの順位相関係数を研究してきました

。$\qquad \displaystyle \rho = \frac{\sum_i(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_i (x_i-\bar{x})^2 \sum_i(y_i-\bar{y})^2}}$

2つのリストおよびy 1、… 、y nの場合。アルゴリズムの複雑さは何ですか？$x_1, \dots, x_n$$y_1, \dots, y_n$

アルゴリズムは減算を計算するだけなので、O （n ）になることは可能ですか？$n$$O(n)$

計算する必要があります

• 2つの平均、
• 違い、$2n$
• 加数を持つ3つの合計-一定時間で計算できます-それぞれ$n$
• 1つの除算、1つの乗算、および1つの平方根。

初等算術演算が一定時間で実行されると仮定すると、これらすべてが線形時間で実行できるため、合計時間は確かに可能です。ルートを計算すると、問題が発生する可能性があることに注意してください。$O(n)$

スペースに関しては、いくつかのオプションがあります。

• 平均のみ、つまり2つの数値（、Mは最大数）のみを保存します。すべての差を再計算する必要があります。つまり、合計6 nの減算を実行します。$O(\log M)$$M$$6n$
• $2n+2$$O(n \cdot \log M)$$4n$

どちらが望ましいかは、状況によって異なります。

重要なステップを省略しました...ピアソン相関のための式です。スピアマンになるのは、xとyが2つの元の変数のランクであることです。このランキングステップは、スピアマン相関係数の複雑さを考慮する必要があります。基本的に、2つの変数のそれぞれをソートする必要があります。これは、選択したソートアルゴリズムによって異なり、その後、上記の計算が続きます。