未満の距離空間の点集合の中心点を見つけますか？

メトリック空間で定義されたポイントのセットがあるので、ポイント間の「距離」を測定できますが、それ以外は測定できません。このセット内で最も中心的なポイントを見つけたいと思います。これを、他のすべてのポイントまでの距離の合計が最小になるポイントとして定義します。メトリックの計算は遅いため、可能な限り回避する必要があります。$n$

このポイントを見つける明白な方法は、メトリック距離計算を使用します。これは、（a）各ポイントについて、他のすべてのポイントまでの距離の合計を計算し、（b）最小ポイントを取るためです。$n^2$

未満の距離比較でこれを行う方法はありますか？（おそらく、三角形の不等式を何らかの方法で利用していますが、これは私の測定基準に当てはまるはずです。）$O(n^2)$

正確な方法が存在しない場合は、適切な近似で十分です。

いいえ。最悪の場合、よりも上手くいくことはできません。$\Theta(n^2)$

ポイントのすべてのペアが互いに距離にあるポイントの配置を考えます。（これは可能な構成です。）次に、すべてのエッジを調べるよりも良い方法はありません。あなたが検討していないすべてのエッジがある場合は特に、その後、攻撃者は、いずれかのようにその辺の長さを選ぶことができる0.9、1.0、または1.1 ; これらの選択はすべて、これまでに行った他のすべての観察およびメトリックの要件（たとえば、三角形の不等式）と一致しているため、3つすべてが可能です。ただし、異なる出力が必要です。したがって、アルゴリズムがそのエッジを調べずに何かを出力しない場合、攻撃者は常に、アルゴリズムの出力を誤ってしまう未調査のエッジの長さを選択できます。$1$$0.9$$1.0$$1.1$

ただし、すべての点が（座標が与えられていなくても）に存在することがわかっている場合は、縮退がない（サブセットがない）と仮定して、O （（d + 1 ）n ）の距離を測定することで問題を解決できます。d + 1ポイントは同一平面上にあります）。$\mathbb{R}^d$$O((d+1)n)$$d+1$

特に、ポイントをランダムに選択します。これらはアンカーポイントになります。それらのペアワイズ距離を指定すると、ペアワイズ距離と一致する座標を計算できます。ここで、他のすべてのポイントPについて、Pから各アンカーポイントまでの距離を計算します。三角測量とこれらの距離を使用して、アンカーポイントを基準にしたPの位置、つまりPの座標を計算できます。すべての非アンカーポイントPに対してこれを行います$d+1$$P$$P$$P$$P$$P$。これで、すべてのポイントの座標が得られました。これらの座標を使用して、オラクルにペアワイズ距離を要求することなく、中心点を見つけることができます。この最後のステップを時間より速く実行できるかどうかはわかりませんが、ペアワイズ距離を測定しなくても実行できます。$O(n^2)$

メトリック空間の高速アルゴリズムに関するPiotr Indykの作業を確認してください。（メトリックスペースの問題のためにサブリニアアルゴリズムで、STOC '99の予稿集、pp.428-434 ACM、1999; PS）第3節では線形時間近似1-メジアンアルゴリズムを与えます。