「O（1）-complete」問題はありますか？

多くの複雑なクラスには「完全な」問題があります。時間で解決できる問題の複雑さのクラスに完全な問題が存在しますか？ $O(1)$

複雑なのは、このクラスが計算モデルに依存していることです。「合理的」とは通常、チューリングマシンとの多項式時間の等価性を意味するので、問題は、ある合理的な計算モデルでは時間で解決できますが、別のモデルでは解決できません。ただし、特定の合理的なモデルについては引き続き問題が解決する可能性があります。 $O(1)$

一定時間の多元削減を見るのが最も理にかなっていると思います。ただし、それらに関する文献があれば、他の賢明な削減を検討することもできます。

このようなものは存在しますか、それとも計算のモデルに対して研究されましたか？

complexity-theory time-complexity constant-time

— マイク・バッタグリア
ソース

回答:

ほとんどすべての問題で入力の読み取りが必要なので、ほぼすべての問題で少なくとも時間必要です。ここで、は入力のサイズです。したがって、すでに定義されている線形時間問題のクラスについて考えることができます。 $\Omega(n)$ $n$

ただし、 -completeまたは -completeの問題はまだわかっていません。きめの細かい複雑さの分野では、この領域でいくつかの新しい結果がありますが、クラスは問題ベースです（たとえば、APSPは、半径、負の三角形などと同等です）。 $O(n)$ $O(n^2)$

— Mohemnist
ソース

これで問題が解決するかどうかはわかりません。多くの問題は時間を必要としますが、それらのすべてではありません時間で解決できるいくつかの問題がまだあるため、尋ねられた質問は関連性があるようです。

Ω (n)

$\Omega(n)$

O (1)

$O(1)$

— DW

これは、入力を順次読み取る必要があり、間接指定がないことも想定しているため、これはモデルが実際に重要なインスタンスの1つになります。（私は元の投稿で間接性とおそらくランダム性を主張するべきかどうか疑問に思っています。そうでなければ、このような些細な障害にぶつかります）

— Mike Battaglia

入力として何かが与えられるかどうかを決定する問題は、時間かかります。一定の時間がかかる他のすべての問題は、他の問題の一定のバージョンに制限されています。

O (1)

$O(1)$

— rus9384 2017年

「他の問題の有界定数バージョン」とはどういう意味ですか？

— Mike Battaglia 2017年

@MikeBattaglia、たとえば、チューリングマシンが100ステップ実行後に停止する場合。

— rus9384 2017年

問題については、とを除いて、すべての言語は「一定時間削減」の下で完全であると思います $O(1)$ $L = \Sigma^*$ $L = \emptyset$

その仮定と $L, L' \in O(1)$ $L \neq 0, L \neq \Sigma^*$

レッツ $x_Y \in L, x_N \notin L$

これは、からへの一定時間の短縮です。 $L'$ $L$

所与解決に時間 $x$ $L'$ $O(1)$
もしその後、出力、それ以外の場合は出力 $x \in L'$ $x_Y$ $x_N$

したがって、はに対して完全です（...遅延削減、遅延結果:-)）。 $L$ $O(1)$

— ヴォル
ソース

一般的に、クラス硬さは、あなたが述べた理由から、自体と同じくらい強力なリダクションでは意味がありません。TIME（）-completeの意味のある定義を得るには、一定時間よりも弱い削減が必要です。私はそれらが何であるかを知りません。

C

$C$

C

$C$

O (1)

$O(1)$

— Pontus、2017年

@ポントス：同意する。確かにそれほど興味深いことではありません...離散した有限の宇宙に住んでいる場合を除きます:-D

— Vor

...ステップ削減（固定）を使用することもできますが、この場合は完全な問題はありません...またはTMのサイズと定数ステップの数の間に制約を追加します（たとえば、（ deterministic / nondeterministic）TMが場合、ステップのみが許可されます）...

k

$k$

k

$k$

n

$n$

n / 2

$n / 2$

— Vor

はい、おそらく何か面白いものを作り上げることができます（または作りました）。あなたの最後の提案のTMは何ですか？

— Pontus

@Vor一部の並列モデルの固定時定数幅はどうですか？

— l4m2