タグ付けされた質問 「asymptotics」

漸近表記と分析に関する質問

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ランタイム分析
つまり、は反復対数を意味するので、 =はまでです。log∗log∗\log^*log∗(3)log∗⁡(3)\log^*(3)(loglogloglog...)(log⁡log⁡log⁡log...)(\log\log\log\log...)n≤1n≤1n \leq 1 私は以下を解決しようとしています： です log∗(22n)log∗⁡(22n)\log^*(2^{2^n}) 少し、少し、または ofoooωω\omegaΘΘ\Theta log∗(n)2log∗⁡(n)2{\log^*(n)}^2 内部機能の点で、よりもはるかに大きいが、二乗する私を投げています。log∗(22n)log∗⁡(22n)\log^*(2^{2^n})log∗(n)log∗⁡(n)\log^*(n)log∗(n)log∗⁡(n)\log^*(n) がであることは知っていますが、反復対数に対してプロパティが成り立つとは思いません。log(n)2log⁡(n)2\log(n)^2O(n)O(n)O(n) マスターメソッドを適用しようとしましたが、関数のプロパティに問題があります。nを最大（つまり、）に設定しようとしましたが、これは問題を本当に単純化しませんでした。log∗(n)log∗⁡(n)\log^*(n)n=5n=5n = 5 私がこれにどのように取り組むべきかについて誰かが何かアドバイスがありますか？
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漸近質問
ある？n!2!⋅4!⋅8!…(n/2)!=O(4n)n!2!⋅4!⋅8!…(n/2)!=O(4n)\frac {n!} {2!\cdot 4!\cdot 8!\dots (n/2)!}=O(4^n) 私は本当に行き詰っていて、それが本当だと信じがちですが、それを証明する方法がわかりません。 どんな助けもいただければ幸いです！
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再帰
再帰を調べています これは、特定されていないアルゴリズムの実行時間を示しています（基本ケースは提供されていません）。T(n)=T(n/2)+T(n/3)+n,T(n)=T(n/2)+T(n/3)+n,T(n) = T(n/2) + T(n/3) + n, 帰納法を使用して、であることがわかりましたが、これはきついとは言われていません。実際、帰納的にすべてのと仮定しT(n)=O(nlogn)T(n)=O(nlog⁡n)T(n) = O(n\log n)T(k)≤CklogkT(k)≤Cklog⁡kT(k) \leq Ck\log kk<nk<nk 0、したがって、最後の式は C56nlogn≤CnlognC56nlog⁡n≤Cnlog⁡nC\frac{5}{6}n\log n\leq Cn\log n。 私の最初の質問は、これより厳しい制限は何ですか？ 次に、Akra-Bazziメソッドを使用してこれを解決しようとしたので、 ppp 解決する (12)p+(13)p=1.(12)p+(13)p=1.\left(\frac{1}{2}\right)^p + \left(\frac{1}{3}\right)^p = 1. それからおよそ p=0.79p=0.79p=0.79、および（と g（n ）= ng（ん）=んg(n) = n）なる ∫ん1g（u ）あなたp + 1du =∫ん11あなたpdu =11 − p（ん1 − p− 1 ）、∫1んg（あなた）あなたp+1dあなた=∫1ん1あなたpdあなた=11−p（ん1−p−1）、\int_1^n \frac{g(u)}{u^{p+1}} du …
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配列をに分割した場合の再帰の深さは何ですか
配列を入力として受け取る関数があります。配列を同じサイズの部分に分割しますは配列のサイズです。要素が2つだけ残るまで、各サブ配列を分割し続けます。この再帰の深さはどれくらいですか？log2(n)log2⁡(n)\log_2(n)nnn プロセスの例： 最初に要素があり、それらを同じサイズの部分に分割します。これらの各部分には、要素が含まれています。次のレベルの再帰では、各配列を同じサイズの部分に再度分割します。これらの各要素には、要素が含まれるようになります。そして、要素が2つしかないサブ配列に到達するまで、この方法で配列を分割し続けます。nnnlog2(n)log2⁡(n)\log_2(n)nlog2(n)nlog2(n)\frac {n} {log_2(n)}log2(nlog2(n))log2(nlog2(n))log_2(\frac {n} {log_2(n)})nlog2(n)log2(nlog2(n))nlog2(n)log2(nlog2(n))\frac {\frac {n} {log_2(n)}} {log_2(\frac {n} {log_2(n)})}
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漸近的に記述された関数を操作して結論を​​出すことはできますか？
この質問は宿題に基づいています（実際の問​​題は使用していません）。 次のような関数があるとします。 f(n)∈O(2n2).f(n)∈O(2n2).f(n) \in O(2n^2) \, . 次に、これを次のように扱いますか？ f(n)=2n2f(n)=2n2f(n) = 2n^2 それに数学を実行し、その漸近的な意味を保ちますか？ 上記の場合、が意味すると推測できますか（この例では係数が重要であると仮定しています）？f(n)∈O(2n2)f(n)∈O(2n2)f(n) \in O(2n^2)f(n)/2∈O(n2)f(n)/2∈O(n2)f(n) / 2 \in O(n^2)
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n log n = c。これの良い近似は何ですか？
私は現在Big O表記法と計算の複雑さを調べています。 CLRSの問題1.1は、基本的な質問のように聞こえます。これは、入力のサイズとともにさまざまなアルゴリズムの複雑さがどのように成長するかについての直感を得ることです。 質問は尋ねます： 次の表の各関数と時間について、問題を解決するアルゴリズムにマイクロ秒かかると仮定して、時間で解決できる問題の最大サイズを決定します。f(n)f(n)f(n)tttnnntttf(n)f(n)f(n) 期間は、1秒、1分、1時間、1日、1か月、1年、1世紀です。 関数は、アルゴリズムで頻繁に発生する一般的な時間の複雑さであり、リストは次のとおりです。f(n)f(n)f(n) log2n,n−−√,n,nlog2n,n2,n3,2nandn!log2⁡n,n,n,nlog2⁡n,n2,n3,2nandn! \log_2n, \quad \sqrt{n}, \quad n, \quad n \log_2 n, \quad n^2, \quad n^3, \quad 2^n \quad \text{and} \quad n! ほとんどはかなり単純な代数的操作です。私はこれらの2つ、そして同じ理由で両方に苦労しています： がマイクロ秒の時間である場合、私が苦労している2つは cccnlog2n=cnlog2⁡n=c n \log_2 n = c n!∼2πn−−−√(ne)n=cn!∼2πn(ne)n=c n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n = c 以下のためスターリングの近似を使用することを考えました。n!n!n! これらはどちらもを解く能力を必要とし、スターリングはもう少し操作が必要です。nlog2n=cnlog2⁡n=cn \log_2 n = c ご質問 …
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最低限の効率を証明できますか？
問題が与えられた場合、この問題を解決するためのアルゴリズムの最良の最悪の場合の効率を証明することは可能ですか？ たとえば、配列のソートの問題を考えてみましょう。 より単純なソートアルゴリズムの多くは、最悪の場合の効率が O （ん2）O（ん2）O(n^2)クイックソートやバブルソートなど。ただし、TimsortやSmoothsortなどの他のアルゴリズムには、O （n ログn ）O（んログ⁡ん）O(n \log n)より効率的です。 他のアルゴリズム（私の知る限り）は、配列よりも効率的に配列をソートできませんでした Θ （n ログn ）Θ（んログ⁡ん）\Theta(n\log n)。より効率的な他のアルゴリズムが存在しないことを証明することは可能ですか？ より効率的なアルゴリズムが存在する場合に、ソートアルゴリズムを証明する方法がある場合、これは他の問題にも適用されますか？
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T（n）のビッグOとは何ですか？
私は式と順序を見つける必要がある宿題を持っています T(n)T(n)T(n) によって与えられた T(1)=1T(n)=T(n−1)T(n−1)+1.T(1)=1T(n)=T(n−1)T(n−1)+1.T(1) = 1 \qquad\qquad T(n) = \frac{T(n-1)}{T(n-1) + 1}\,. 私がいることを確立してきた今は少し混乱しています。ある第二の部分のための正解？T(n)=1nT(n)=1nT(n) = \frac{1}{n}T(n)∈O(1n)T(n)∈O(1n)T(n) \in O(\frac{1}{n}) big-Oの定義に基づいて、 O(g(n))={f(n)∣∃c,n0>0 s.t. 0≤f(n)≤cg(n) for all n≥n0}.O(g(n))={f(n)∣∃c,n0>0 s.t. 0≤f(n)≤cg(n) for all n≥n0}.O(g(n)) = \{f(n) \mid \exists c, n_0>0\text{ s.t. } 0\leq f(n) \leq cg(n)\text{ for all } n\geq n_0\}\,. これはも当てはまるので、定義に基づいてf(n)=g(n)=1nf(n)=g(n)=1nf(n) = g(n) = …
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反復法で反復T（n）= 3T（n-2）を解く
再発を解決する必要があり、これらの問題を解決する反復的な方法を確実に理解したかったので、久しぶりです。与えられた： T（n ）= 3 T（n − 2 ）T（ん）=３T（ん−2）T(n) = 3T(n-2) 私の最初のステップは、一般的な形式に到達するように用語を繰り返し置換することでした： T（n − 2 ） = 3 T（ n − 2 − 2 ） = 3 T（n − 4 ）T（ん−2）=３T（ん−2−2）=３T（ん−4）T(n-2) = 3T(n-2 -2) = 3T(n-4) T（n ）= 3 ∗ 3 T（n − 4 ）T（ん）=３∗３T（ん−4）T(n) = 3 *3T(n-4) 一般的な形式につながる： T（n ）=３kT（n …
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多項式関数のビッグシータ証明
これは宿題ではありません。私には解決策がありますが、それは私が得ているものではありません。この問題には複数の解決策があることはわかっていますが、見落としがないようにしたいと思います。 質問は次のとおりです。 2 2-4n + 7 =Θ（）であることを証明します。定数の値を指定して、作業を示します。ん2ん2n^2ん2ん2n^2 ここに私が問題に取り組んだ方法があります： Θ（g（n））の定義から： 0≤C 1 2≤2 2-4n + 7≤C 2ん2ん2n^2ん2ん2n^2ん2ん2n^2 不等式を最大次数のn項で割ります。（これが私がこれらの方程式を解く方法を知っている唯一の方法です。） 0≤C 1 ≤2 - （4 / N - 7 /）≤C 2ん2ん2n^2 問題をLHSとRHSの2つの部分に分割します。 RHSから始めます。 満たす定数C 2を見つける 0≤2-（4 / n-7 /）≤C 2ん2ん2n^2 n = 1、（2-（4/1-7/））= 512121^2 n = 2、（2-（4/2-7/））= 7/422222^2 n = 3、（2-（4/3-7/9））= 13/9 RHSを満たすために、C …
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オメガとオメガインフィニティのバリエーション
一部の著者は定義します ΩΩ\Omega 少し違う方法で：使ってみましょう Ω∞Ω∞ \overset{\infty}{\Omega} （「オメガインフィニティ」をお読みください）。と言うf(n)=Ω∞(g(n))f(n)=Ω∞(g(n))f(n) = \overset{\infty}{\Omega}(g(n)) 正の定数が存在する場合 ccc そのような f(n)≥c⋅g(n)≥0f(n)≥c⋅g(n)≥0f(n) \geq c\cdot g(n) \geq 0 無限に多くの整数 nnn、通常の ΩΩ\Omega これは、一定以上のすべての整数に当てはまる必要があります n0n0n_0。 2つの関数についてそれを示す f(n)f(n)f(n) そして g(n)g(n)g(n) 漸近的に非負であるか f(n)=O(g(n))f(n)=O(g(n))f(n) = O(g(n)) または f(n)=Ω∞(g(n))f(n)=Ω∞(g(n))f(n)= \overset{\infty}{\Omega}(g(n)) または両方ですが、これは、 ΩΩ\Omega 代わりに Ω∞Ω∞\overset{\infty}{\Omega}。 私はアルゴリズムを学ぼうとしています。しかし、これを証明することはできません。専門家は私を助けてくれますか？
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O（n）の関数もo（n）の関数もすべてΘ（n）にありますか？
私の講義の1つは次のように述べています。 （f（N ）= O （N ）∧ F（n ）≠ o （n ））⟹f（n ）= Θ （n ）（f（ん）=O（ん）∧f（ん）≠o（ん））⟹f（ん）=Θ（ん）( f(n)=O(n) \land f(n)\neq o(n) )\implies f(n)=\Theta(n) たぶん私は、定義の中で何かが欠けているんだけど、例えばバブルソートは、とではないそれもありませんそれが最良の場合の実行時間ですので、。O （ん2）O（ん2）O(n^2)o （ん2）o（ん2）o(n^2)θ （ん2）θ（ん2）\theta(n^2)Ω （n ）Ω（ん）\Omega(n) ここで何が欠けていますか？
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が、ような2つの関数、
質問のタイトルは、私が探しているものを表しています。これは、非決定論的な時間階層定理の前提条件をよりよく理解するのに役立ちます たとえば、Arora-Barakの本では、およびを使用して定理を説明していますが、もわかります！そのため、が適切なサブセットになるように指定することで、「余分な」時間が保証されることをよりよく理解しようとしています、、ない ... g(n)=ng(n)=ng(n) = nG(n)=n1.5G(n)=n1.5G(n) = n^{1.5}n∈o(n1.5)n∈o(n1.5)n \in o(n^{1.5})NTIME(g(n))NTIME(g(n))\text{NTIME}(g(n))NTIME(G(n))NTIME(G(n))\text{NTIME}(G(n))g(n+1)=o(G(n))g(n+1)=o(G(n))g(n + 1) = o(G(n)) g(n)=o(G(n))g(n)=o(G(n))g(n) = o(G(n))
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の定義
私は第3版のCLRSアルゴリズムのテキストを扱っています。第3章では、次で始まる漸近表記について議論を始めます。 ΘΘ\Theta表記。私は最初の定義を理解しました： Θ(g(n))={f(n)|∃c1,c2>0,n0∈N:0≤c1g(n)≤f(n)≤c2g(n) ∀n≥n0}Θ(g(n))={f(n)|∃c1,c2>0,n0∈N:0≤c1g(n)≤f(n)≤c2g(n) ∀n≥n0}\Theta(g(n)) = \{ f(n)\,|\, \exists\, c_1, c_2 > 0, n_0 \in \mathbb{N}: 0 \leq c_1 g(n) \leq f(n) \leq c_2 g(n)\ \ \forall n \geq n_0\} しかし、次のページのテキストには次のように書かれています： の定義 Θ(g(n))Θ(g(n))\Theta(g(n)) すべてのメンバーが f(n)∈Θ(g(n))f(n)∈Θ(g(n))f(n) \in \Theta(g(n)) 漸近的に負でない、つまり f(n)f(n)f(n) いつでも負にならない nnn十分に大きいです。（漸近的に正の関数とは、十分に大きなすべてに対して正の関数ですnnn。）したがって、関数g（n）自体は漸近的に非負でなければならず、そうでなければセット Θ(g(n))Θ(g(n))\Theta(g(n)) 空です。 関数が負である場合のセットについての最後の部分 Θ(g(n))Θ(g(n))\Theta(g(n))は空であり、正の関数の一般的な要件は混乱を招くようなものです。誰かが私にとってこの定義を明確にでき、それが何を意味するのか、例を挙げて可能であれば、それは大いに評価されます。
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再発関係の解決
反復関係解く。 この例の本は、を推測してから、であると誤って主張しています。 T(n)=2T(⌊n/2⌋)+nT(n)=2T(⌊n/2⌋)+nT(n) = 2T(\lfloor n/2 \rfloor) + nT(n)=O(n)T(n)=O(n)T(n) = O(n)T(n)≤cnT(n)≤cnT(n) \leq cn T(n)≤2(c⌊n/2⌋)+n≤cn+n=O(n)⟵ wrong!!T(n)≤2(c⌊n/2⌋)+n≤cn+n=O(n)⟵ wrong!!\qquad \begin{align*} T(n) & \leq 2(c \lfloor n/2 \rfloor ) + n \\ &\leq cn +n \\ &=O(n) \quad \quad \quad \longleftarrow \text{ wrong!!} \end{align*} 以来、 constant.Theエラーである私たちが証明していないことである正確な誘導仮説の形を。ccc 上記では、本の内容を正確に引用しています。ここで私の質問は、なぜにを書けないのか、そしてあり、したがってでしょうか？cn+n=dncn+n=dncn+n=dnd=c+1d=c+1d=c+1T(n)≤dnT(n)≤dnT(n) \leq dnT(n)=O(n)T(n)=O(n)T(n) = O(n) 注意： 正解はT(n)=O(nlogn).T(n)=O(nlog⁡n).T(n) =O(n …
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