多項式関数のビッグシータ証明

これは宿題ではありません。私には解決策がありますが、それは私が得ているものではありません。この問題には複数の解決策があることはわかっていますが、見落としがないようにしたいと思います。

質問は次のとおりです。

2 2-4n + 7 =Θ（）であることを証明します。定数の値を指定して、作業を示します。$n^2$$n^2$

ここに私が問題に取り組んだ方法があります：

Θ（g（n））の定義から：

0≤C ₁ 2≤2 2-4n + 7≤C ₂$n^2$$n^2$$n^2$

不等式を最大次数のn項で割ります。（これが私がこれらの方程式を解く方法を知っている唯一の方法です。）

0≤C ₁ ≤2 - （4 / N - 7 /）≤C ₂$n^2$

問題をLHSとRHSの2つの部分に分割します。

RHSから始めます。

満たす定数C ₂を見つける

0≤2-（4 / n-7 /）≤C ₂$n^2$

n = 1、（2-（4/1-7/））= 5$1^2$

n = 2、（2-（4/2-7/））= 7/4$2^2$

n = 3、（2-（4/3-7/9））= 13/9

RHSを満たすために、C ₂を2、n≧ ₂に選択します。

LHS：満足する定数を見つけようとします

0≤C ₁ ≤2 - （4 / N - 7 /）$n^2$

上記から、n = 2の後で、nが大きくなるにつれて方程式が2に近づくことがわかっているため、2未満の定数を選択すると、LHSを満たす必要があります。

C ₁を₁に選択します。nの場合、1を選択すると左側が満たされますが、RHSはn≥2を必要とするため、それを使用します。

したがって、2 2-4n + 7 =Θ（）を証明する定数は$n^2$$n^2$

C ₁ = 1、C ₂ = 2、n≥2

この問題に対する与えられた解決策はn≥4を選択しますが、理由はわかりません。n≥2でうまくいくようです。どこか間違ってる？

私が間違っていなければ、C ₁も2に選択したとしたら、不等式で≤になることができるので、左辺も満足しないでしょうか。

あなたの解決策は結構です。この事実を証明する方法はいくつかありますが、それらはすべて有効/正しいものです。したがって、あなたのアプローチは有効であり、あなたのクラスからの解決策も有効である可能性があります。それは矛盾ではありません。

でも、あなたの証明を将来構造化するためのアドバイスを一つあげましょう。あなたが質問でスケッチした議論では、あなたは「後ろ向きに働いています」：あなたはあなたが真実でありたいと思っているステートメントから始めます（それは$c_1 n^2 \le 2 n^2 -4n + 7 \le c_2 n^2$）、そしてあなたは真実である必要があるものを導き出そうとします $c_1,c_2$あなたの願いが叶うように。ただし、この種の推論はエラーが発生しやすいことが経験で証明されています。途中で間違いを犯しやすいのです。また、他の人がチェックするのは難しいです。

証明を書くときは、反対の方向に推論することをお勧めします。あなたが知っていることが真実であるということから始めて、それからその意味合いを導き出して、$c_1 n^2 \le 2 n^2 -4n + 7 \le c_2 n^2$。これは、人々の考えによく一致し、読者が何が起こっているのかを理解しやすくします。そして、証明の目的はアイデアを読者に伝えることです。そのため、読者の生活をより簡単にするために、証拠は構造化されている必要があります。つまり、読者が証明の推論が正しく有効であることをできるだけ簡単に確認できるようにする必要があります。それはちょうど良い本のようです。良い文章は、読者の生活を良くするために選択されます。証明も同じです。そして、最終的には、これもあなたに利益をもたらします：私の経験では、このアプローチに従えば、証拠に微妙な間違いをする可能性は低くなります。

したがって、より良い証明の概要は、それを示すことです $n^2 \le 2n^2 - 4n + 7$ すべてのために保持する $n\ge 2$ （そういうものだから）そしてそれを示す $2n^2 - 4n + 7 \le 2n^2$ すべてのために保持する $n\ge 2$ （何とか何とかして）、そしてそれからそれを結論付ける $2n^2 - 4n + 7 \in \Theta(n^2)$。この種の証明は書くのが難しいことに気づきます。$c_1,c_2$このスタイルの証明を書き始める前に使用します。しかし、あなたは何を知っていますか？それで大丈夫です。スクラッチ紙で辺の計算を行うと、$c_1,c_2$使用する。そのサイドの計算を見せないでください。の価値を理解するだけです$c_1,c_2$ 行うのが良いでしょう、そしてあなたが引っ張って証明を始めます $c_1=1,c_2=2$魔法のように薄い空気から出て、あなたの選択が有効であることを示します。このスタイルの証明はあなたにとっても読者にとっても良いでしょう。