漸近質問

ある？ $\frac {n!} {2!\cdot 4!\cdot 8!\dots (n/2)!}=O(4^n)$

私は本当に行き詰っていて、それが本当だと信じがちですが、それを証明する方法がわかりません。

どんな助けもいただければ幸いです！

asymptotics factorial big-o-notation

それを証明するために何を試しましたか？ビッグOまたは制限の定義を使用してみましたか？

— ライアン

分母は明確ではありません。それは？それはですか？

2! * 4! * 6! . . .

$2!*4!*6!...$

2! * 4! * 8! * 16! . . .

$2!*4!*8!*16!...$

— lox 2019

Tnx、私は私の質問を編集しました

— Dudi Frid

したがって、分母には項があるようです。これらの各用語を、分子内でそれ以上の用語と組み合わせることができますか？たとえば、の最後の項の最後の項とペアになり分子でキャンセルします。分母全体でこれを試してください。

n - 2

$n-2$

n / 2

$n/2$

(n / 2)!

$(n/2)!$

n / 2

$n/2$

n!

$n!$

— ライアン

答えを詳しく説明していただけませんか？そして、あなたはそれを証明または反証しますか？

— Dudi Frid

我々はスターリングの近似を使用すると、より洗練された漸近を取得できますが、これは興味のある読者に任せます。

\frac{n!}{(n / 2)! (n / 4)! \dots 2!} = \frac{n!}{(n / 2)! (n / 2)!} \frac{(n / 2)!}{(n / 4)! (n / 4)!} \dots \frac{4!}{2! 2!} \frac{2!}{1! 1!} = (\binom{n}{n / 2}) (\binom{n / 2}{n / 4}) \dots (\binom{4}{2}) (\binom{2}{1}) \leq 2^{n} 2^{n / 2} \dots 2^{4} 2^{2} = 2^{n + n / 2 + \dots + 2 + 1} < 2^{2 n} = 4^{n} .

$\frac{n!}{(n/2)!(n/4)!\cdots 2!} = \frac{n!}{(n/2)!(n/2)!} \frac{(n/2)!}{(n/4)!(n/4)!} \cdots \frac{4!}{2!2!} \frac{2!}{1!1!} = \\ \binom{n}{n/2} \binom{n/2}{n/4} \cdots \binom{4}{2} \binom{2}{1} \leq 2^n 2^{n/2} \cdots 2^4 2^2 = 2^{n+n/2+\cdots+2+1} <2^{2n} = 4^n.$

— ユヴァルフィルムス
ソース

を証明する方法は？そして、が累乗でない場合はどうなりますか？

\frac{n}{2} + \frac{n}{4} + . . . + 2 + 1 < n

${n\over 2}+{n\over 4}+...+2+1\lt n$

n

$n$

2

$2$

— ミニパーサー

次に、どうですか？

n + \frac{n}{2} + \frac{n}{4} + . . . + 2 + 1 < n + n = 2 n

$n+{n\over 2}+{n\over 4}+...+2+1\lt n + n=2n$

— ミニパーサー

以前のコメントは間違っていました。我々は。

n + n / 2 + n / 4 + \dots + 1 = n (1 + 1 / 2 + 1 / 4 + \dots + 1 / n) \leq n \sum_{i = 0}^{\infty} 2^{- i} = 2 n

$n + n/2 + n/4 + \cdots + 1 = n(1 + 1/2+1/4 + \cdots + 1/n) \leq n\sum_{i=0}^\infty 2^{-i} = 2n$

— Yuval Filmus

OPは、暗黙的に、その前提とし 2の累乗である

n

$n$

— のYuval Filmus